Weibull-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Weibull-verdeling
Kansdichtheid
Weibul pdf.png
Verdelingsfunctie
Weibul cdf.png
Parameters schaal (reëel)
vorm (reëel)
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan
Variantie
Scheefheid
Kurtosis (zie tekst)
Entropie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde


In de kansrekening en de statistiek is de Weibull-verdeling (genoemd naar Waloddi Weibull) een continue kansverdeling waarvan de kansdichtheid voor gedefinieerd wordt door

Daarin is de vormparameter en de schaalparameter van de verdeling.

De verdelingsfunctie wordt voor gegeven door

Weibull-verdelingen worden vaak gebruikt als levensduurverdeling om de tijd te modelleren tot een gegeven technisch apparaat uitvalt. Als de uitvalsnelheid (MTBF) van het toestel afneemt in de tijd, kiest men , wat resulteert in een afnemende dichtheid . Wanneer de uitvalsnelheid van het toestel constant is in de tijd, kiest men , wat opnieuw resulteert in een afnemende dichtheid. Als de uitvalsnelheid toeneemt in de tijd, kiest men , zodat de kansdichtheid eerst stijgt naar een maximum en dan voor altijd afneemt. Fabrikanten zullen vaak de vorm- en schaalparameters meegeven voor de verdeling van de levensduur van een specifiek toestel. De Weibull-verdeling kan ook gebruikt worden om de verdeling van de windsnelheden op een bepaalde plaats op aarde te modelleren. Opnieuw wordt elke locatie gekarakteriseerd door de vorm- en schaalparameter.

Eigenschappen[bewerken]

Het n-de moment van de verdeling wordt gegeven door:

Daarin is de Gammafunctie.

De verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van een Weibull-verdeelde toevalsvariabele X kunnen uitgedrukt worden als:

en

De scheefheid wordt gegeven door:

De kurtosis is gegeven door:

waar . De kurtosis kan ook geschreven worden als:

Generatie van Weibull-verdeelde toevalsgrootheden[bewerken]

Gegeven een toevalsgetal U getrokken uit een uniforme verdeling in het interval (0, 1] , dan heeft de grootheid

een Weibull-verdeling met parameters k en λ. Dit volgt uit de vorm van de verdelingsfunctie.

Verwante verdelingen[bewerken]

  • De exponentiële verdeling is een Weibull-verdeling met vormparameter .
  • De Rayleigh-verdeling is een Weibull-verdeling met vormparameter .
  • Als uniform verdeeld is op het interval [0,1], heeft een Weibull-verdeling met vormparameter en schaalparameter .

Toepassing[bewerken]

De Weibull-verdeling geeft de verdeling van de levensduur van voorwerpen. Ze wordt ook gebruikt in de analyse van systemen met een zwakste schakel. De Weibull-verdeling wordt vaak gebruikt in plaats van de normale verdeling omwille van het feit dat een Weibull-verdeelde toevalsvariabele gegenereerd kan worden door inversie, terwijl normale toevalsvariabelen typisch gegenereerd worden met de complexere Box-Müller-transformatie, die twee uniform verdeelde toevalsvariabelen vereist. Weibull-verdelingen kunnen ook gebruikt worden om fabricage- en leveringstijden voor te stellen in industriële processen.

Externe links[bewerken]