Moment (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening en statistiek zijn momenten kerngrootheden van een kansverdeling. Met behulp van momenten worden begrippen uit de beschrijvende statistiek als gemiddelde, variantie, scheefheid en kurtosis bepaald. Een kansverdeling wordt uniek vastgelegd door zijn momenten, mits deze bestaan. Voor enkele speciale verdelingen, zoals de Lévyverdeling, bestaan niet (alle) momenten. Momenten worden toegepast bij de momentenmethode en zijn verbonden aan de momentgenererende functie.

Er wordt onderscheid gemaakt tussen gewone momenten, centrale momenten, momenten om , absolute momenten en gestandaardiseerde momenten.

(Gewoon) moment[bewerken]

Het -de moment van een reëelwaardige functie wordt gegeven door

Wanneer een kansdichtheid is, met bijbehorende stochastische variabele , dan is gelijk aan de verwachtingswaarde van .

Ook voor kansverdelingen waarvoor geen kansdichtheid bestaat, worden de momenten overeenkomstig gedefinieerd in termen van de verwachtingswaarden

Het eerste moment is gelijk aan de verwachtingswaarde: . Het tweede moment is gelijk aan .

Centraal moment[bewerken]

Het -de centrale moment van de kansverdeling van de stochastische variabele , wordt gegeven door

Daarin is de verdelingsfunctie van

Door te centraliseren wordt ervoor gezorgd dat het -de centrale moment niet van lagere orde momenten afhangt: het eerste centrale moment is per definitie nul, het tweede centrale moment is

Moment om een constante[bewerken]

In plaats van te centraliseren, kan een moment ook om een andere constante berekend worden. Het -de moment om van een stochastische variabele met verdelingsfunctie wordt gegeven door

Het gewone -de moment is dus gelijk aan het -de moment om nul.

Gestandaardiseerd moment[bewerken]

Het -de gestandaardiseerde moment van een stochastische variabele of kansverdeling wordt gegeven door

waarbij de standaardafwijking is. Het gestandaardiseerde moment is een dimensieloze maat.

  • Het eerste gestandaardiseerde moment is altijd nul, omdat het eerste centrale moment per definitie nul is
  • Het tweede gestandaardiseerde moment is altijd een, want het tweede centrale moment komt overeen met de variantie , hetgeen gelijk is aan het kwadraat van de standaardafwijking
  • Het derde gestandaardiseerde moment wordt scheefheid genoemd
  • Het vierde gestandaardiseerde moment is direct gerelateerd aan de kurtosis

Absoluut moment[bewerken]

Het -de absolute moment (om ) van een stochastische variabele met verdelingsfunctie wordt gegeven door

Berekening in een steekproef[bewerken]

Berekening van momenten in een steekproef gaat analoog als berekening bij een kansverdeling. Zo kan bij een steekproef het -de moment berekend worden via

en is bijvoorbeeld het tweede absolute moment rond drie gelijk aan

Berekening van momenten met de momentgenererende functie[bewerken]

Met behulp van de momentgenererende functie kunnen doorgaans eenvoudig de momenten berekend worden: het -de moment is gelijk aan de waarde van de -de afgeleide van in 0. De mathematische details staan bij momentgenererende functie.