Modus (statistiek)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De modus is voor een frequentieverdeling de waarde of (waarnemings)klasse met de grootste frequentie, of anders gezegd, de waarde of klasse die het vaakst voorkomt. De twee andere meest gebruikte centrale waardes (centrummaten) zijn de mediaan en het rekenkundig gemiddelde. Ook voor een kansverdeling en een kansdichtheid is de modus gedefinieerd en wel als de waarde met de grootste kans of kansdichtheid.

Heeft een verdeling een, twee of meer modi, dan noemt men de verdeling respctievelijk unimodaal, bimodaal of multimodaal.

De modus is zinvol wanneer de meet- of waarnemingsresultaten zich spreiden rond één centrale waarde. Bij een symmetrische verdeling ligt de modus dicht bij het gemiddelde en de mediaan, bij een scheve verdeling niet.

Het voordeel ten opzichte van het rekenkundig gemiddelde is dat ze ook bruikbaar is bij ordinale en zelfs nominale verdelingen. Over het algemeen is ze dan ook vaak wat eenvoudiger te bepalen.

Modaal is de bijvoeglijke vorm van modus en kennen we bijvoorbeeld van modaal inkomen.

Voorbeeld[bewerken]

Een klas van vijftien leerlingen doet een proefwerk. De cijfers zijn: 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8.

Het cijfer 6 komt het meest voor (vijf keer) en dat is dus de modus. (De mediaan is 7, het gemiddelde 6,6.)

Een ander voorbeeld:

Van een bak met vijftien gekleurde ballen worden alle ballen gesorteerd en geteld: rood, geel, groen, groen, groen, groen, groen, blauw, blauw, blauw, blauw, wit,wit, wit, wit.

De kleur groen is hier de modus (komt 5 keer voor). Van een mediaan en gemiddelde is in dit geval geen sprake.

Unimodale verdeling[bewerken]

Figuur 1: Kansdichtheden van de normale verdeling, voorbeelden van unimodale verdelingen
Figuur 2: Eenvoudige bimodale verdeling
Figuur 3: Een verdeling die, hoewel strikt unimodaal, gewoonlijk wordt aangeduid als bimodaal

Een unimodale (kans)verdeling is een kansverdeling die slechts één modus heeft. De bijbehorende kansfunctie in geval van een discrete verdeling, of de kansdichtheid in geval van een continue verdeling heeft slechts één globaal maximum.

Voorbeelden van unimodale continue verdelingen zijn de normale verdeling, de cauchy-verdeling, de t-verdeling, de chi-kwadraatverdeling en de exponentiële verdeling. Onder de discrete verdelingen worden de binomiale verdeling en de poissonverdeling als unimodaal beschouwd, hoewel voor sommige waarden van de parameters twee aangrenzende waarden dezelfde kans kunnen hebben.

Figuur 2 toont de kansdichtheid van een bimodale verdeling. De verdeling heeft twee waarden, waarvoor de kansdichtheid maximaal is en even groot.

Figuur 3 toont een verdeling met één globaal maximum, die dus strikt genomen unimodaal is. Het is echter gebruikelijk alle lokale maxima als modi van een verdeling te beschouwen. Als een kansfunctie of kansdichtheid meer dan één lokaal maximum heeft, wordt deze verdeling daarom als multimodaal aangeduid. Onder deze ruimere definitie illustreert figuur 3 een bimodale verdeling.

Bi- en multimodale verdelingen[bewerken]

Figuur 4. Bimodaal histogram van de lichaamslengten van 300 wevermieren [1]

Een multimodale verdeling is een continue kansverdeling waarvan de dichtheid meer den één lokaal maximum heeft. Elk van de waarden waarvoor de dichtheid lokaal maximaal is, wordt als modus van de verdeling beschouwd. Zijn er twee modi, dan spreekt men van een bimodale verdeling.

Het histogram van figuur 4 toont duidelijk twee modi. Dat doet vermoeden dat de populatie wevermieren uit twee onderscheidene deelpopulaties bestaat.