Poissonverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Poissonverdeling
Kansfunctie
Plot van de kansfunctie van de poissondistributie
De horizontale as is de index k. (Merk op dat de functie enkel gedefinieerd is voor gehele waarden van k. Het verbinden van de lijnen duidt niet op continuïteit.)
Verdelingsfunctie
Plot van de cumulatieve distributiefunctie van de poissondistributie
De horizontale as is de index k. (Merk op dat de functie enkel gedefinieerd is voor gehele waarden van k. Het verbinden van de lijnen duidt niet op continuïteit.)
Parameters \lambda \in (0,\infty)
Drager k \in \{0,1,2,\ldots\}
Kansfunctie \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
Verdelingsfunctie \frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!
Verwachtingswaarde \lambda\,
Mediaan N/A
Modus \lfloor\lambda\rfloor
Variantie \lambda\,
Scheefheid \lambda^{-1/2}\,
Kurtosis \lambda^{-1}\,
Entropie \lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}
Moment-
genererende functie
\exp(\lambda (e^t-1))\,
Karakteristieke functie \exp(\lambda (e^{it}-1))\,
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

De Poissonverdeling is een discrete kansverdeling die met name van toepassing is voor stochastische variabelen die het voorkomen van bepaalde voorvallen tellen gedurende een gegeven tijdsinterval, afstand, oppervlakte, volume etc.

De Poissonverdeling is genoemd naar Siméon Poisson die deze kansverdeling ontdekte en samen met zijn statistische theorie in 1838 publiceerde in zijn werk Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile.

Als X de stochastische variabele is die het aantal voorvallen telt, dan is volgens de Poissonverdeling de kans dat er precies k voorvallen plaatsvinden (met k een natuurlijk getal; 0, 1, 2, ...):

P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.

Hierin is:

  • e het grondtal van de natuurlijke logaritme (\mathrm{e}= 2{,}71828...) ,
  • k! de faculteit van k,
  • λ een positief reëel getal, gelijk aan het verwachte aantal voorvallen in het tijdsinterval. Als er bijvoorbeeld 1 voorval elke 2 minuten wordt verwacht, en het tijdsinterval is 10 minuten, dan zou een Poissonverdeling met {\lambda}=5 moeten worden gebruikt.

Poissonproces[bewerken]

Soms wordt {\lambda} iets anders gebruikt, namelijk als het verwachte aantal voorvallen per tijdseenheid. In dat geval is, met Nt het aantal voorvallen dat optreedt vóór tijdstip t:

P(N_t=k) = f(k; \lambda t) = \frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},

en de wachttijd T tot het eerste voorval is een continue willekeurige variabele met een exponentiële verdeling. Deze verdeling kan worden afgeleid uit het feit dat

P(T>t)= P(N_t=0) = e^{- \lambda t} \ .

Wanneer men de tijd erbij betrekt, dan heeft men een 1-dimensionaal Poissonproces, waarin men zowel de discrete Poissongedistribueerde toevalsgrootheden heeft die het aantal aankomsten in elk tijdsinterval tellen, als de continue Erlang-gedistribueerde wachttijden. Er bestaan ook Poissonprocessen met een graad groter dan een.

Voorkomen in de praktijk[bewerken]

De Poissonverdeling komt voor in relatie met zogenaamde Poissonprocessen. Hij is van toepassing op diverse fenomenen die een discrete natuur hebben (dat wil zeggen dat ze 0, 1, 2, 3... keer voorkomen gedurende een gegeven tijdsinterval of in een bepaald gebied), wanneer de kans op het evenement constant is in de tijd of in de ruimte. Voorbeelden zijn:

  • het aantal binnen een bepaalde tijd vervallen radioactieve atoomkernen in een stuk radioactief materiaal
  • het aantal auto's die gedurende een zekere tijd een bepaald punt van een weg passeren (maar niet als het zo druk is dat er twee of meer tegelijk voorbijkomen!)
  • het aantal door een secretaresse gemaakte typefouten bij het typen van een enkele pagina
  • het aantal telefoontjes die iemand op een dag krijgt
  • het aantal keren in een minuut dat een webserver wordt benaderd
  • het aantal in een uur gewijzigde pagina's op Wikipedia
  • het aantal dode dieren op een kilometer weg
  • het aantal mutaties in een stuk DNA van gegeven lengte na een bepaalde stralingsdosis
  • het aantal naaldbomen op een hectare gemengd bos
  • het aantal sterren in een gegeven ruimte
  • het aantal op een vierkante mijl van Londen gevallen bommen gedurende een Duitse luchtaanval in het begin van de Tweede Wereldoorlog

Verband met de binomiale verdeling[bewerken]

De Poissonverdeling kan afgeleid worden als limietgeval van een binomiale verdeling met parameters n en λ/n, wanneer n naar oneindig gaat. Dat is de kansverdeling van het aantal gelukte pogingen uit n, met als kans λ/n op succes voor elke poging. Laat X_nbinomiaal verdeeld zijn met parameters n en λ/n , dan is


\begin{align}
P(X_n=k)&={n! \over k!(n-k)!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\
&=\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]
\frac{\lambda^k}{k!}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}
\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \to \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
\end{align}

want


 \frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}= \frac{n(n-1)\cdots \big(n-(k-1)\big)}{n^k}= 1\cdot(1-\tfrac{1}{n})\cdots(1-\tfrac{k-1}{n}) \to 1

Eigenschappen[bewerken]

EX=\sum_{k=0}^\infty k\cdot \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda \sum_{m=0}^\infty \frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}=\lambda
EX(X-1)=\sum_{k=0}^\infty k(k-1)\cdot \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-2)!}e^{-\lambda}=\lambda ^2\sum_{m=0}^\infty \frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}=\lambda^2,
dus
\operatorname{var}(X)=EX^2-(EX)^2=EX(X-1)+EX-\lambda^2=\lambda.
  • De meest waarschijnlijke waarde (modus) van een Poisson-verdeelde stochastische variabele is voor niet-gehele waarden van λ gelijk aan het grootste gehele getal kleiner dan λ. Voor gehele waarden van λ zijn er twee modi, zowel λ–1 als λ. Vergelijk daartoe de kansen voor k–1 en k; het quotiënt daarvan is:
\frac{P(X=k-1)}{P(X=k)}=\frac k\lambda

dus

k<\lambda \Rarr P(X=k-1)<P(X=k)
k> \lambda \Rarr P(X=k-1)> P(X=k)
  • Voor grote λ (zeg λ > 1000) is de normale verdeling met verwachting λ en variantie λ een goede benadering van de Poissonverdeling. Voor andere, niet te kleine waarden van λ (zeg λ > 10), is de normale verdeling een goede benadering als een continuïteitscorrectie wordt toegepast. Kansen voor een Poisson-verdeelde X worden benaderd met de verdeling van Y die N(λ,λ)-verdeeld is:
P(X \le k)\approx P(Y\le k + 0{,}5).
  • Als N en M twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn die beide een Poissonverdeling hebben met respectievelijk parameters λ en μ, dan geldt dat N + M een Poissonverdeling heeft met parameter λ + μ. Er geldt:
\begin{align}
P(N+M=k)&=\sum_{n=0}^k P(N=n)P(M=k-n)\\
&=\sum_{n=0}^k \frac{\lambda^k\mu^{k-n}}{n!(k-n)!}e^{-(\lambda+\mu)}\\
&=\frac1{k!}e^{-(\lambda+\mu)}\sum_{n=0}^k \frac{k!}{n!(k-n)!}\lambda^n\mu^{k-n}\\
&=\frac{(\lambda+\mu)^k}{k!}e^{-(\lambda+\mu)}
\end{align}