Karakteristieke functie (kansrekening)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De karakteristieke functie van een stochastische variabele is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële gegeven wordt door:

Er is een eeneenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van , dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere.

De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:

waarin de verdelingsfunctie van is.

Als de kansdichtheid heeft, gaat deze integraal over in:

De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op of gedefinieerd is.

Voorbeelden[bewerken]

Normale verdeling[bewerken]

Voor de normale verdeling met parameters en is de karakteristieke functie:

Exponentiële verdeling[bewerken]

Voor de exponentiële verdeling met parameter is de karakteristieke functie:

Eigenschappen[bewerken]

De karakteristieke functie is continu in de parameter . Ze neemt steeds de waarde 1 aan in .

Voor elk positief geheel getal , elk stel van reële getallen en complexe getallen geldt

Deze drie eigenschappen samen zijn voldoende opdat een gegeven functie de karakteristieke functie van een of andere stochastische variabele zou zijn; dit is de stelling van Bochner.

Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen en geldt:

  • (begrensd)
  • (lineaire transformatie)
  • (convolutie)

Als een dichtheid heeft:

  • (omkeerformule)


De karakteristieke functie is verwant met een aantal andere integraaltransformaties in de kansrekening, zoals de momentgenererende functie en de kansgenererende functie.