Lognormale verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Lognormale verdeling
Kansdichtheid
Kansdichtheidsfunctie van de lognormale verdeling
μ=0
Verdelingsfunctie
Cumulatieve distributiefunctie van de lognormale verdeling
μ=0
Parameters
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan
Modus
Variantie
Scheefheid
Kurtosis
Entropie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

In de kansrekening is de lognormale verdeling de kansverdeling van een stochastische variabele waarvan de logaritme normaal verdeeld is. Als de stochastische variabele normaal verdeeld is, heeft de stochastische variabele dus een lognormale verdeling. In de statistiek wordt een lognormale verdeling gebruikt om een variabele te modelleren die kan worden gezien als het multiplicatieve resultaat van een aantal kleine, onafhankelijke factoren.

Definitie[bewerken]

De lognormale verdeling is de kansverdeling met als kansdichtheid, gedefinieerd voor ,

Hierin stellen de parameters en respectievelijk de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de natuurlijke logaritme van de betrokken variabele voor. De verdelingsfunctie is

Hoewel alle momenten bestaan en gegeven worden door

,

bestaat de momentgenererende functie zelf niet.

Eigenschappen[bewerken]

Laat een lognormaal verdeelde toevalsvariabele zijn. Dan is de verwachtingswaarde gelijk aan

De variantie is

Overige eigenschappen, zoals modus, mediaan en scheefheid, staan in de tabel rechtboven.

Inderdaad is de stochastische variabele normaal verdeeld, immers:

,

dus de dichtheid van is:

Omdat de lognormale verdeling gebruikt wordt in situaties met een multiplicatief karakter, is het zinvol om naar het meetkundig gemiddelde te kijken. Dit is gelijk aan . De geometrische standaarddeviatie is .

Gerelateerde verdelingen[bewerken]

  • Als dan .
  • Als , met m = 1, .., n onafhankelijke lognormaal verdeelde stochasten, met dezelfde waarde μ, zijn en , dan volgt Y een lognormale verdeling: .

Externe link[bewerken]