Chi-kwadraatverdeling

chi-kwadraatverdeling
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters	$k>0\,$$k>0\,$ vrijheidsgraden
Drager	$x\in [0;+\infty )\,$$x\in [0;+\infty )\,$
Kansdichtheid	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,$${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,$
Verdelingsfunctie	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$
Verwachtingswaarde	$k\,$$k\,$
Mediaan	bij benadering $k-2/3\,$$k-2/3\,$
Modus	$k-2\,$$k-2\,$ als $k\geq 2\,$$k\geq 2\,$
Variantie	$2\,k\,$$2\,k\,$
Scheefheid	${\sqrt {8/k}}\,$${\sqrt {8/k}}\,$
Kurtosis	$12/k\,$$12/k\,$
Entropie	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
Moment- genererende functie	$(1-2\,t)^{-k/2}$$(1-2\,t)^{-k/2}$ voor $2\,t<1\,$$2\,t<1\,$
Karakteristieke functie	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$
Portaal    Wiskunde

De chi-kwadraatverdeling of χ²-verdeling is afgeleid van de normale verdeling en verbonden met de verdeling van de steekproefvariantie van een aselecte steekproef uit een normale verdeling. Het is de verdeling van de som van de kwadraten van n onderling onafhankelijke standaard-normaal verdeelde variabelen $Z_{1},\dots ,Z_{n}$$Z_{1},\dots ,Z_{n}$, dus van:

$\chi _{n}^{2}=Z_{1}^{2}+\dots +Z_{n}^{2}$$\chi _{n}^{2}=Z_{1}^{2}+\dots +Z_{n}^{2}$.

De parameter n wordt het aantal vrijheidsgraden genoemd. De chi-kwadraatverdeling is een specifiek geval van de gamma-verdeling.

Kansdichtheid

Voor n vrijheidsgraden wordt de kansdichtheid $f_{n}$$f_{n}$ voor $x>0$$x>0$ gegeven door

$f_{n}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}$$f_{n}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}$.

De verwachtingswaarde is n en de variantie 2n.

Toepassing

Voor de (gebruikelijke) steekproefvariantie

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

van een aselecte steekproef van omvang n uit een N(μ,σ²)-verdeling geldt:

$(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}$$(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}$ is verdeeld als $\chi _{n-1}^{2}$$\chi _{n-1}^{2}$.

Dit is geen bijzonderheid, want de chi-kwadraatverdeling is juist ontwikkeld als de verdeling van deze grootheid. We kunnen dit enigszins plausibel maken door te schrijven:

$(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\left({\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}^{2}-Z_{0}^{2},$$(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\left({\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}^{2}-Z_{0}^{2},$

waarin alle Z's standaardnormaal verdeeld zijn.

Afleiding van de dichtheid

De dichtheid van de toevalsvariabele $\chi _{n}^{2}=X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}$$\chi _{n}^{2}=X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}$, waarin $X_{1},\dots ,X_{n}$$X_{1},\dots ,X_{n}$ onderling onafhankelijk en standaardnormaal verdeeld zijn, volgt uit de simultane dichtheid van $X_{1},\dots ,X_{n}$$X_{1},\dots ,X_{n}$. Deze simultane dichtheid is het $n$$n$-voudige product van de standaardnormale dichtheid :

$f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x_{i}^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}.$$f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x_{i}^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}.$

Voor de gezochte dichtheid geldt:

${\begin{aligned}f_{\chi _{n}^{2}}(z)&=\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}P(z<\chi _{n}^{2}\leq z+h)\\&=\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}\int \limits _{K}(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}\,dx_{1}\ldots dx_{n}\\&=(2\pi )^{-{\tfrac {n}{2}}}e^{-{\frac {z}{2}}}\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}\\\end{aligned}}$${\begin{aligned}f_{\chi _{n}^{2}}(z)&=\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}P(z<\chi _{n}^{2}\leq z+h)\\&=\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}\int \limits _{K}(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}\,dx_{1}\ldots dx_{n}\\&=(2\pi )^{-{\tfrac {n}{2}}}e^{-{\frac {z}{2}}}\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}\\\end{aligned}}$

met $K=\{z\leq x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\leq z+h\}.$$K=\{z\leq x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\leq z+h\}.$

In de limiet is die som in de e-macht gelijk aan z, en daarom kan de e-macht buiten de integraal en voor de limiet gehaald worden..

De resterende integraal

$\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}=V_{n}({\sqrt {z+h}})-V_{n}({\sqrt {z}}),$$\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}=V_{n}({\sqrt {z+h}})-V_{n}({\sqrt {z}}),$

is het volume van de bolschil tussen de bol met straal ${\sqrt {z+h}}$${\sqrt {z+h}}$ en de bol met straal ${\sqrt {z}}$${\sqrt {z}}$.

$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}$$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}$

stelt het volume voor van de n-dimensionale bol met straal R.

Dus is:

$\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}={\frac {dV_{n}({\sqrt {z}})}{dz}}={\frac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}z^{{\tfrac {n}{2}}-1}}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}$$\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}={\frac {dV_{n}({\sqrt {z}})}{dz}}={\frac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}z^{{\tfrac {n}{2}}-1}}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}$

en na invullen in de uitdrukking voor de gezochte dichtheid vinden we:

$f_{\chi _{n}^{2}}(z)={\frac {z^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {z}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$$f_{\chi _{n}^{2}}(z)={\frac {z^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {z}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$.

Kansverdelingen
Discrete verdelingen: Bernoulli · binomiaal · geometrisch · hypergeometrisch · negatief-binomiaal · Poisson · uniform · zeta Continue verdelingen: beta · chi-kwadraat · Erlang · exponentieel · F-verdeling · gamma · Gumbel · hyperexponentieel · logistisch · lognormaal · normaal · Pareto · student (t-) · uniform · Weibull Meerdimensionale verdelingen: multinomiaal · multivariaat normaal