chi-kwadraatverdeling
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters
k
>
0
{\displaystyle k>0\,}
Drager
x
∈
[
0
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}
Kansdichtheid
(
1
/
2
)
k
/
2
Γ
(
k
/
2
)
x
k
/
2
−
1
e
−
x
/
2
{\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,}
Verdelingsfunctie
γ
(
k
/
2
,
x
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}
Verwachtingswaarde
k
{\displaystyle k\,}
Mediaan bij benadering
k
−
2
/
3
{\displaystyle k-2/3\,}
Modus
k
−
2
{\displaystyle k-2\,}
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2\,}
Variantie
2
k
{\displaystyle 2\,k\,}
Scheefheid
8
/
k
{\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}
Kurtosis
12
/
k
{\displaystyle 12/k\,}
Entropie
k
2
+
ln
(
2
Γ
(
k
/
2
)
)
+
(
1
−
k
/
2
)
ψ
(
k
/
2
)
{\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)}
Moment-
(
1
−
2
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}
2
t
<
1
{\displaystyle 2\,t<1\,}
Karakteristieke functie
(
1
−
2
i
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,}
De chi-kwadraatverdeling of χ2 -verdeling is afgeleid van de normale verdeling en verbonden met de verdeling van de steekproefvariantie van een aselecte steekproef uit een normale verdeling. Het is de verdeling van de som van de kwadraten van
n
{\displaystyle n}
Z
1
,
…
,
Z
n
{\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{n}}
χ
n
2
=
Z
1
2
+
⋯
+
Z
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}=Z_{1}^{2}+\dots +Z_{n}^{2}}
De parameter
n
{\displaystyle n}
vrijheidsgraden genoemd. De chi-kwadraatverdeling is een specifiaal geval van de gamma-verdeling .
De kansdichtheid
f
n
{\displaystyle f_{n}}
n
{\displaystyle n}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
f
n
(
x
)
=
1
2
n
2
Γ
(
n
2
)
x
n
2
−
1
e
−
x
2
{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}
De verwachtingswaarde van de chi-kwadraatverdeling met
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
variantie is
2
n
{\displaystyle 2n}
Voor de (gebruikelijke) steekproefvariantie
S
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
{\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}
van een aselecte steekproef van omvang
n
{\displaystyle n}
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
∼
χ
n
−
1
2
{\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}
Dit is geen bijzonderheid, want de chi-kwadraatverdeling is juist ontwikkeld als de verdeling van deze grootheid. We kunnen dit enigszins plausibel maken door te schrijven:
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
=
1
σ
2
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
¯
)
2
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
σ
)
2
−
(
X
¯
−
μ
σ
/
n
)
2
=
∑
i
=
1
n
Z
i
2
−
Z
0
2
,
{\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\left({\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}^{2}-Z_{0}^{2},}
waarin alle
Z
{\displaystyle Z}
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
S
2
{\displaystyle S^{2}}
Z
0
{\displaystyle Z_{0}}
S
2
{\displaystyle S^{2}}
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
+
Z
0
2
=
∑
i
=
1
n
Z
i
2
∼
χ
n
2
{\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}+Z_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}\quad }
Z
0
2
∼
χ
1
2
{\displaystyle \quad Z_{0}^{2}\sim \chi _{1}^{2}}
volgt het gestelde.
Afleiding van de dichtheid [ bewerken ] De dichtheid van de toevalsvariabele
χ
n
2
=
X
1
2
+
…
+
X
n
2
{\displaystyle \chi _{n}^{2}=X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}}
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
n
{\displaystyle n}
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∏
i
=
1
n
e
−
1
2
x
i
2
2
π
=
(
2
π
)
−
n
2
e
−
1
2
(
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
)
.
{\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x_{i}^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}.}
Voor de gezochte dichtheid geldt:
f
χ
n
2
(
z
)
=
lim
h
→
0
1
h
P
(
z
<
χ
n
2
≤
z
+
h
)
=
lim
h
→
0
1
h
∫
K
(
2
π
)
−
n
2
e
−
1
2
(
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
)
d
x
1
…
d
x
n
=
(
2
π
)
−
n
2
e
−
z
2
lim
h
→
0
1
h
∫
K
d
x
1
…
d
x
n
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{\chi _{n}^{2}}(z)&=\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}P(z<\chi _{n}^{2}\leq z+h)\\&=\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}\int \limits _{K}(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}\,dx_{1}\ldots dx_{n}\\&=(2\pi )^{-{\tfrac {n}{2}}}e^{-{\frac {z}{2}}}\lim _{h\to 0}{\tfrac {1}{h}}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}\\\end{aligned}}}
met
K
=
{
z
≤
x
1
2
+
…
+
x
n
2
≤
z
+
h
}
.
{\displaystyle K=\{z\leq x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\leq z+h\}.}
In de limiet is die som in de e-macht gelijk aan
z
{\displaystyle z}
De resterende integraal
∫
K
d
x
1
…
d
x
n
=
V
n
(
z
+
h
)
−
V
n
(
z
)
,
{\displaystyle \int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}=V_{n}({\sqrt {z+h}})-V_{n}({\sqrt {z}}),}
is het volume van de bolschil tussen de bol met straal
z
+
h
{\displaystyle {\sqrt {z+h}}}
z
{\displaystyle {\sqrt {z}}}
V
n
(
R
)
=
π
n
2
R
n
Γ
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}}
stelt het volume voor van de
n
{\displaystyle n}
R
{\displaystyle R}
Dus is:
lim
h
→
0
1
h
∫
K
d
x
1
…
d
x
n
=
d
V
n
(
z
)
d
z
=
π
n
2
z
n
2
−
1
Γ
(
n
2
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}={\frac {dV_{n}({\sqrt {z}})}{dz}}={\frac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}z^{{\tfrac {n}{2}}-1}}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}}
en na invullen in de uitdrukking voor de gezochte dichtheid volgt:
f
χ
n
2
(
z
)
=
z
n
2
−
1
e
−
z
2
2
n
2
Γ
(
n
2
)
{\displaystyle f_{\chi _{n}^{2}}(z)={\frac {z^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {z}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}
