Chi-kwadraatverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
chi-kwadraatverdeling
Kansdichtheid
Kansverdeling voor verschillende k's
Verdelingsfunctie
Chi-square distributionCDF.png
Parameters vrijheidsgraden
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan bij benadering
Modus als
Variantie
Scheefheid
Kurtosis
Entropie
Moment-
genererende functie
voor
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

De chi-kwadraatverdeling of χ2-verdeling is afgeleid van de normale verdeling en verbonden met de verdeling van de steekproefvariantie van een aselecte steekproef uit een normale verdeling. Het is de verdeling van de som van de kwadraten van n onderling onafhankelijke standaard-normaal verdeelde variabelen , dus van:

.

De parameter n wordt het aantal vrijheidsgraden genoemd. De chi-kwadraatverdeling is een specifiek geval van de gamma-verdeling.

Kansdichtheid[bewerken]

Voor n vrijheidsgraden wordt de kansdichtheid voor gegeven door

.

De verwachtingswaarde is n en de variantie 2n.

Toepassing[bewerken]

Voor de (gebruikelijke) steekproefvariantie

van een aselecte steekproef van omvang n uit een N(μ,σ2)-verdeling geldt:

is verdeeld als .

Dit is geen bijzonderheid, want de chi-kwadraatverdeling is juist ontwikkeld als de verdeling van deze grootheid. We kunnen dit enigszins plausibel maken door te schrijven:

waarin alle Z's standaardnormaal verdeeld zijn.

Afleiding van de dichtheid[bewerken]

De dichtheid van de toevalsvariabele , waarin onderling onafhankelijk en standaardnormaal verdeeld zijn, volgt uit de simultane dichtheid van . Deze simultane dichtheid is het -voudige product van de standaardnormale dichtheid :

Voor de gezochte dichtheid geldt:

met

In de limiet is die som in de e-macht gelijk aan z, en daarom kan de e-macht buiten de integraal en voor de limiet gehaald worden..

De resterende integraal

is het volume van de bolschil tussen de bol met straal en de bol met straal .

stelt het volume voor van de n-dimensionale bol met straal R.

Dus is:

en na invullen in de uitdrukking voor de gezochte dichtheid vinden we:

.