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Artikel zu Reihen und Folgen – erneut

Am 2. Dezember 2021 hat Googolplexian1221 den (mega-)Abschnitt   "Artikel zu Reihen und Folgen" archiviert. Einschließlich, innerhalb von zwei Tagen, meinen Beitrag 30. November 2021.  Motivierung: TF, und hier fehl am Platze.

Ich platziere es - vorerst teilweise - erneut, mit minimalen Anpassungen.  Weil:

- nicht gesagt wird, wo und warum es sich um Theoriefindung handeln würde;

- es hier nicht Beiträge im Artikelnamensraum ANR betrifft;

- nicht gesagt wird warum es hier im Vergleich zu anderen Beiträgen, 'fehl am Platz'  wäre.

Zweideutigkeit von "Begriff".  Im Lemma Begriff wird erläutert dass das Wort "Begriff" nicht nur steht für:  Konzept / Objekt / Idee / (englisch notion) / Bedeutungsinhalt,  aber im Alltagssprache auch ('unscharf', 'fälschlich') für:  (sprachliche) Bezeichnung / Wort / Wortgruppe / Ausdruck.  In meine Beiträge habe ich bisher immer 'Konzept/Objekt' gemeint. Um Missverständnisse zu vermeiden, habe ich das in folgender Texte verdeutlicht.

Inkorrekte und korrekte Nomenklatur

- - - Reihe - Begriff Konzept = Summe-Ausdruck?  Es gibt Autoren die eine Zahlenfolge ${\textstyle \,(s_{n})\,=\,(\sum _{k=0}^{n}a_{k})\,}$ bezeichnen als  "zu $(a_{k})$ gehörende unendliche Reihe" oder "Reihe mit den Gliedern $a_{n}$".  Autoren die zugleich die Glieder der Folge ${\textstyle (s_{n})\,}$ nicht als "Glieder der Reihe",  die Teilsummen von ${\textstyle (s_{n})\,}$ nicht als "Teilsummen der Reihe"  und die Summe von ${\textstyle (s_{n})\,}$ nicht als "Summe der Reihe"  bezeichnen.   (Siehe: M. Barner, F. Flor, Analysis I;  H. Heuser, Lehrbuch der Analysis-Teil 1;  R. Remmert, Funktionentheorie I;  K. Endl, W. Luh, Analysis I;  u.a.)

Dies scheint mir sprachlich inkorrekt, und für Leser verwirrend. Kein Wunder das ein Kapitel 'Infinite Series' anfängt mit:  "Most students of mathematics who have completed calculus feel competent in the techniques of differentiation and integration, but they may panic at the mention of infinite series."  (Edward D. Gaughan, Introduction to Analysis, 1968-2010, [1]).

- - - Vergleich mit Cauchy.   A.L. Cauchy verwendete in alle seiner Publikationen:

(1) das Substantiv 'suite'  nur beim definieren des Fachworts 'série'  ;

(2) das Substantiv 'série'  konsequent nur für was modern suite des nombres / Zahlenfolge heißt ;

(3) das Adjektiv 'convergente'  ( 'une série convergente' )  nur für das Zusammenlaufen der Teilsummen ( ! ) einer 'série' / Folge,  modern: suite sommable / summierbare Folge ;   niemals: 'la série converge'  für  'la série est convergente' ;

(4) Formen des Verbs 'converger'  nur für approcher (une limite) / (ein Grenzwert) nähern ;

(5) die Ausdruck $\,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}+$&c. . . .  nur für den Summenwert der Folge $(u_{n})$ .

                          Anmerkunge / Quellen Ad 1,2.  Zitat Cauchy 1821, 1823, 1829, 1833 : "On appelle série une suite indéfinie de quantités $\,u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,$&c. ...  qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée."  [2], [3], [4]

Im 18. und 19. Jh. hatten alle hier dasselbe wie Cauchy.  Quellen: 1750 Cyclopaedia-Chambers ("SERIES, in algebra, denotes a rank or progression of quantities..."), 1765 Encyclopedie-Diderot/D'Alembert ("SERIE ou SUITE, en Algèbre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantité, qui..."), 1775 Saladin ("On appelle Série une Suite de termes consecutifs qui..."), 1793 Lorenz ("Eine Reihe, series, heißt eine Menge von Größen, deren jede..."), 1815 Raupach ("Eine Reihe heißt eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen."), 1819 The Cyclopaedia-Rees ("SERIES, in Analysis, is a succession of terms, or progression of quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding..."), 1827 Ettingshausen ("Eine Folge von Größen, welche..., heißt eine Reihe".), 1827 Littrow ("Reihe ist eine Anzahl von Zahlen ... die nach einem bestimmten Gesetze fortgehen."), 1836 Burg ("Eine nach irgend einem Gesetze gebildete Folge von Größen wird Reihe ...genannt."), 1845 Thomson ("The series which are treated of in mathematics are successios of quantities, each of which..."), 1846 Buchanan ("SERIES - In analysis, a succession of terms, or progressive quantities, connected together by the signs plus and minus, and proceeding..."), 1848 Wood ("An infinite series is a series of terms proceeding according to some law ..."), 1855 Hembyze ("Jede Folge von Zahlen, die..., nennt man eine Reihe"), 1856 Briot ("On appelle série, en mathématique, une suite indéfinie de quantités qui se déduisent..."), usw.

Ad 3.   Im 18. und 19. Jh. waren 'summi(e)rbare Reihe', 'convergi(e)rende Reihe' und 'convergente Reihe' nach fast alle Autoren (nicht Cauchy) austauschbar. Alle drei bedeuteten: Zahlenfolge mit zusammenlaufende Partialsummen. Quellen für 'summirbar': 1773 de Marguerie ("la sommation des suites algébriques sommables"), 1823 Klügel/Mollweide ("Summirung der Reihen" "summirbare Reihen"), 1827 Ettingshausen ("Die Reihe .... sey summirbar, oder sie convergire"), 1829 von Forstner ("sind diese Progressionen summirbar"), 1833 Schön ("die Reihe ist convergirend oder summirbar"), 1836 Burg ("so sagt man die Reihe convergire oder sey summirbar"), 1857 Hembyze (Man theilt...die unendlichen Reihen in summirbare oder convegirende, und in nicht summirbare over divergirende ein"), usw.

Ad 3,4  Zitat (Cours d'Analyse S. 124-125) mit sowohl  'série convergente'  als  'converger' :  "pour que  la série $\,u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\ldots u_{n},\,u_{n+1},\,$&c. . . .  soit  convergente, il est nécessaire et il suffit que des valeurs croissantes de $n$ fassent  converger indéfiniment la somme $\,s_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\,$&c. . . . $+\,u_{n-1}\,$ vers une limite fixe $s$" . [5]

Cauchys Bedeutungsunterschied zwischen 'convergente' und (Formen von) 'converger' scheint wenig gefolgt zu sein, nicht einmal von seinen Übersetzer Huzler 1828 S.92, Schnuse 1836 S.94, und Itsigsohn 1885 S.87.   Zitat Huzler [6] S. 92:  "Sechstes Capitel. Von den  convergirenden und  divergirenden Reihen." (Cauchy: séries convergentes et divergentes),  und  "Wenn, für immer zunehmende Werthe von n, die Summe s_n sich einer gewissen Grenze s unendlich nähert, so ist die Reihe  convergirend, " (Cauchy: la série sera dite convergente).   Anderes Beispiel, 1833 Klügel/Grunert: "so heißt die Reihe convergent oder convergirend, und s heißt ihre Summe" .

Ad 5.  Zitat (Cours d'Analyse S. 129-130): "On indique généralement la somme d'une série convergente par la somme de ses premiers termes suivi d'un  &c. . . . "   [7].  Viele Autoren verwenden, im Gegensatz zu Cauchy, $\,u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}\cdots \,$ auch für eine Zahlenfolge / 'série' $\,(u_{n})$,  und später (20. Jh.) auch für ihre Partialsummenfolge.

- - - Schluss.  Ich achte es wünschenswert die Inkorrektheit von gängige 'Definitionen', sowie das einwandfrei sein der Nomenklatur von Cauchy (mit vorzugsweise die Namen  Folge, summierbar, Summierbarkeit  für Cauchy's  'série' , 'convergente' , 'convergence' ), im Lemma 'Reihe (Mathematik)' explizit zu erwähnen.   KONSENS ? --

'Folge' und 'Reihe' – ein Begriff eine Sache,  zwei Sprachen

Für Abbildungen auf den natürlichen Zahlen gibt es zwei Nomenklatur- und Notationsvarianten, mit die Verwendung von 'konvergent/konvergieren' (für Gliedernhäufung bzw. Teilsummenhäufung) als meist wesentlichen Unterschied.

Die Convergenz  e i n e r  R e i h e  a n  s i c h  ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz  i h r e r  S u m m i r u n g  zu einem endlichen Grenzwerthe;  letztere schliesst zwar die erstere ein, aber nicht umgekehrt.   C.F. Gauß, ca 1800.

It is clear that a series is,  l i k e  a  s e q u e n c e,  a function whose domain is the class of natural numbers.  The difference lies in the operations that are, if possible, to be performed.   L.M. Graves, 1946, 1956.

(gekürzt)  A sequence〈f_n〉can be  c o n v e r g e n t ,  a series〈f_n〉can be  s u m m a b l e .   H.L. Royden, 1968, 1988.

The ${\textstyle \sum }$ sign  d e n o t e s  summation, so that when we  t a l k  of  ' the series ${\textstyle \sum a_{n}}$'   we are referring to the process of summing the terms $a_{n}$, that is, we are interested in the behavior of the associated sequence $(s_{n})$.   D.S.G. Stirling, 1987.

(gekürzt)  If the sequence of partial sums of sequence  {x_n}  converges to y,  then we say that  {x_n}  is a  s u m m a b l e  s e q u e n c e  (or that the  infinite series Σx_i  converges to y ).   C.S. Kubrusly, 2001, 2011.

In modern terms, one might say that a sequence  o r  a  s e r i e s  is simply a function N→R,  the same in both cases.   'Raciquel', 2014.

In beiden Sprachen:

- die Zahlen $\,a_{n}\,$ heißen  'Glieder der Folge/Reihe' ;

- die Zahlen $\,a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}\,$,  auch ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,}$,  heißen  'Teilsummen der Folge/Reihe' ;

- die Grenzwert der Teilsummen einer Folge/Reihe heißt  'Summe der Folge/Reihe' ;

- die Teilsummenfolge einer Folge/Reihe wird notiert als  $\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})\,$,  $\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}\,$,  ${\textstyle \,(\sum _{i=1}^{n}a_{i})\,}$,  ${\textstyle \,(\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n\geq 1}\,}$ ;

- die Summe ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})\,}$ einer Folge/Reihe wird notiert als ${\textstyle \,\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$,  auch $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \infty \,$ (Jolley [8]) .

In der Folge-Gliedernkonvergenz-Sprache (vor ca 1920 nur ausnahmsweise verwendet):

- eine Abbildung $a$ auf $\mathbb {N}$ heißt  'Folge mit Gliedern a-n',  und wird notiert als $\,a_{1},a_{2},a_{3},\cdots \,$,  $(a_{n})$,  $(a_{n})_{n\geq 1}$ (zuerst { }, auch〈 〉) ;

- 'konvergent', 'konvergierend' und 'konvergieren' stehen für das Zusammenlaufen/Anhäufen der Gliedern einer Folge;

- 'summierbar' und 'summieren' stehen für das Zusammenlaufen der Teilsummen einer Folge;

- 'Grenzwert einer Folge' steht für die Grenzwert der Gliedern.

                          Quellen G1-G27 mit  'Konvergenz'  für Gliedernkonvergenz,  (chronologisch) - G1.  C.F. Gauß, Werke Band X Abt. I, ca 1800, S. 400:

Ich werde unter Convergenz, einer unendlichen Reihe schlechthin beigelegt, nichts anderes verstehen, als die beim unendlichen Fortschreiten der Reihe eintretende unendliche Annäherung ihrer Glieder an die 0.

- G2.  Ch. Méray, Nouveau Précis d'Analyse Infinitésimale, 1872 (Kap. I, p. 1-2: "une variante convergente"  bei zusammenlaufenden Gliedern, Kap. II, p. 19: "une série/suite convergente"  bei zusammenlaufenden Summen):

Nous appellerons variante un nombre variable [..] dont la valeur dépend d'un nombre entier.  S'il existe un nombre V tel [..], on dit que la variante tend ou converge vers la limite V.

Une série est une suite  u₁, u₂,..., u_n,...   de quantités [..] se calculant successivement suivant une loi donnée.  Quand la somme S_n des n premiers termes tend vers une certaine limite, on dit que la série est convergente.

- G3.  J. Tannery, Introduction à la theorie des fonctions d'une variable, 1886, S. 44:

Soit  u₁, u₂, ..., u_n, ... , une suite infinie quelconque; si elle est convergente et a pour limite le nombre U, [...].

- G4.  A. Pringsheim, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, zweiter Band Analysis, erster Teil, 1899, S. 32:

Ist a irgend eine bestimmte Zahl, für welche die Folge f_n(a) konvergiert, ... .

- G5.  O. Biermann, Vorlesungen über mathematische Näherungsmethoden, 1905, S 2:

Allgemein sagt man, eine Reihe von Gröszen  c₀, c₁, c₂, ...  die nach einem bestimmten Gesetze hergestellt seien, bildet eine konvergente Zahlenfolge, wenn nach Angabe einer willkürlich kleinen . . . .

- G6.  E.W. Hobson, The theory of functions of a real variable and ..., 1907, S. 33:

Convergent sequences of real numbers.

- G7.  N. Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen, 1909, S. 23:

Die Folge  a₀, a₁, a₂, ···, a_n, ···  heißt dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt  A = lim_n=∞ a_n.

- G8.  G. Kowalewski, Die klassischen Probleme der Analysis des Unendlichen, 1910, S. 77-78:

...wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist, ... .

- G9.  G. Kowalewski, Das Integral und seine geometrischen Anwendungen, 1910 (serie Forschung und Studium Heft 1), S. 1:

Man nennt die Folge konvergent und g ihren Grenzwert. Man sagt auch, dass die Folge (oder x_n) nach g konvergiert.

- G10.  O. Perron, Irrationalzahlen, 1921, S. 48:

Eine Folge von Zahlen heisst konvergent, wenn sie einen endlichen Grenzwert hat, ... .

- G11.  E.J. Dijksterhuis, Euclides jrg. 3, 1926/27, nr. 4, 1927, S. 101 Zeile 16-17:

De variant heet sommeerbaar, als de somvariant convergeert. De limiet van de somvariant heet de som van de variant (of de reeks).

- G12.  P.J.G. Vredenduin (Verslag Nomenclatuurcommissie), Vakblad Euclides jrg. 35-2, 1959, S. 57-59:

een convergente rij is een rij waarvoor lim t_k bestaat;  een sommeerbare rij is een rij waarvoor lim s_k bestaat.

- G13.  Schulbücher in den Niederlanden seit 1960:

Es wird nirgendwo von "Reihen" ("reeksen") gesprochen.  Folgen mit einer Summe heißen "sommeerbaar", nicht "convergent".

- G14.  M. Spivak, Calculus, 1st ed. 1967 (same: 4th ed. 2008 p. 472), p. 389:

The sequence  {a_n}  is summable  if the sequence  {s_n}  converges.

- G15.  H.L. Royden, Real Analysis, 2^nd ed. 1968, p. 115-116 (same: 3^rd ed. 1988, p. 123-124)  

A sequence〈f_n〉in a normed lineair space is said to converge to an element f in the space  if  [..]  norm(f - f_n) < ε .

A series〈f_n〉in a normed lineair space is said to be summable to a sum s  if s is in the space and the sequence of partial sums of the series converges to s .

Zu beachten:  Das Symbol〈f_n〉steht nicht nur für  'sequence'  aber auch für  'series' .

 Kombiniert mit  'partial sum',  'summable'  und  'sum'  ist es konsequent  'series' , nicht  'sequence' .

Die Kombination  'summable series'  ist nicht gebraüchlich.

- G16.  A. van Rooij, Analyse voor beginners, 2. Aufl. 1989 (1. Aufl. 1986, 4. Aufl. 2003), S. 71:

Stel dat deze rij  s₁, s₂, ...  een limiet heeft. Dan noemen we die limiet de som van de rij  x₁, x₂, ...,  en de rij  x₁, x₂, ...  heet sommeerbaar.

- G17.  B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1996, S. 177-179:

We noemen een rij (t_n) sommeerbaar, als de rij van partiële sommen (S_n) convergeert.

- G18.  R. Martini, Fundamentele analyse II (Universiteit Twente - NL), 2000, S. 42:

De rij (a_n) heet in dit geval sommeerbaar.

- G19.  C.S. Kubrusly, Elements of operator theory, 2001, S. 201:

If the sequence of partial sums {y_n} converges [...] then we say that {x_n} is a summable sequence .   If the real-valued sequence {norm x_n} is summable, then we say that {x_n} is an absolutely summable sequence.

- G20.  R. Mayer, Infinite series, 11.1, 2006 (Reed College):

A complex sequence {a_n} is summable iff the series Σ{a_n} is convergent.

- G21.  E.A. Azoff, Sequences and Series, 2010, S. 28, 45:

The sequence  (a_n)  is said to converge to L if ... abs(a_n - L) < ε .   [..]   A sequence  (a_n)_n≥N  is said to be summable if the corresponding sequence  (s_n)_n≥N  of partial sums is convergent.

- G22.  H.R. Beyer, Calculus and analysis: a combined approach, 2010, S. 287:

A sequence x₁, x₂, . . . of real numbers is summable iff the corresponding sequence of partial sums is a Cauchy sequence,

- G23.  P.J. Bartlett, California Institute of Technology, 2012, Math8 par. 1.1 Series, definitions and tools:

A sequence is called summable if the sequence of partial sums converges.

- G24.  N. Strickland (University of Sheffield - UK), Mathematics Educators Stack Exchange, 2014  

(Quote via “How can I teach my students the difference between a sequence and a series?”, answer 6/11, line 19):

The term "summable" is fairly standard. I would always use that instead of "convergent" when referring to series.

- G25.  K.P. Hart, Pythagoras (Schülernzeitschrift), 2014, 53-6 S. 24:

Een rij waaraan op deze manier een som is toe te kennen heet sommeerbaar.

- G26.  gree, digiSchool-Mathématiques, Forum, 2015:

Soit ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}\,}$ une suite sommable de nombres complexes.

- G27.  O. Riesen, Dokumente für meinen Unterricht, website 2019, Zitat via "Analysis">"Zahlenfolge" / "3. Teilsummen,Reihen">"Skript" / S. 24 Zeile 10):

Eine (beliebige) Folge (a_n) heisst summierbar, wenn der Grenzwert der Teilsummenfolge (s_n) existiert.

In der Reihe-Teilsummenkonvergenz-Sprache (verwendet wenn die Teilsummen und ihrer Grenzwert diskutiert werden):

- eine Abbildung $\,a\,$ auf N heißt  'Reihe mit Gliedern a-n', und wird notiert als  'Reihe$\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$',   '$\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$',   'Reihe${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$'  oder  '${\textstyle \sum a_{n}}$' ;

- 'konvergent', 'konvergierend' und 'konvergieren' stehen für das Zusammenlaufen der Teilsummen einer Reihe ;

- man spricht nicht von 'Grenzwert einer Reihe'  und es gibt keinen Kurznamen für 'eine zusammenlaufende-Gliedern-Reihe' ('Gliederhäufungsreihe'?);

- man spricht nicht von 'summierbare Reihe' und ebenso wenig von 'Teilsummenreihe einer Reihe' ;

- die Formen ${\textstyle \,\sum a_{n}\,}$,   ${\textstyle \,\sum _{n=..}^{\infty }a_{n}\,}$  und  $\,a_{..}{+}a_{..+1}{+}a_{..+2}{+}\cdots \,$  können stehen für:

  (1) die Abbildung 'Reihe': $\,n\to a_{n}\,$,

  (2) die Abbildung 'Teilsummenfolge der Reihe': $\,n\to a_{..}{+}\cdots {+}a_{n}\,$,

  (3) die Zahl 'Summe der Reihe': ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{..}{+}\cdots {+}a_{n})\,}$ .

                          Quellen T1-T15, mit  'Konvergenz'  für Teilsummenkonvergenz  (chronologisch) - T1.   A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse, 1^re Partie. Analyse Algébrique, 1821, p. 123  [9]

On appelle  série   une suite indéfini de quantités $\,u_{0},u_{1},u_{2},u_{3},$ &c. . . .  qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée.   Si, [..] la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, [..].

Zu beachten:  Bei Cauchy steht die Ausdruck $\,(a_{0}{+})a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,$  niemals für die Reihe (série/suite)-Abbildung $n\to a_{n}$ oder ihre Teilsummen-Abbildung,  nur allein für ihre Summe-Zahl.

- T2.  R. Geigenmüller, Leitfaden und Aufgabensammlung zur höheren Mathematik, I. Band, 7. Aufl. 1907, S. 264, 265

Jene Folge von Zahlen wird eine  Reihe  und die einzelnen Zahlen werden die  Glieder  der Reihe genannt.  [..]  Jenachdem nämlich  lim(u₀+u₁+u₂+. . .+u_n-1)  eine endliche oder eine unendlichen Zahl darstellt, heisst die Reihe konvergent oder divergent;... .

- T3.  L. Bieberbach, Differentialrechnung, 3.Aufl. 1928, S.34  [10]

Wir legen unseren Betrachtungen eine Zahlenfolge  u₁, u₂, u₃, •••  zugrunde und nehmen uns vor, den Summenbegriff auf diese Folge von unendlich vielen Zahlen zu übertragen. Zum Zeichen dieses Vorhabens pflegt man gern die Glieder der Folge durch Pluszeichen zu verbinden statt sie durch Kommata zu trennen und von einer unendlichen Reihe statt einer unendlichen Folge zu reden: u₁ + u₂ + •••  Durch diese neue Schreibweise ist natürlich der Begriff "Summe einer unendlichen Folge oder Reihe"  noch nicht festgelegt, sondern dadurch sind nur die Reihenglieder  u  erneut aufgeschrieben.

- T4.  L.M. Graves, The theory of functions of real variables, 1946, p. 107  [11] (same in 2^nd edition 1956):

It is clear that a series is,  l i k e  a  s e q u e n c e, a function whose domain is the class of natural numbers.  The difference lies in the operations that are, if possible, to be performed.   The series ${\textstyle \sum a_{i}}$ is said to be convergent in case the corresponding sequence $(s_{m})$ has a finite limit.

- T5.  Ch.-J. de la Vallée Poussin, Cours d'Analyse Infinitesimale - Tome 1, 10. Aufl. 1947, S. 422 (11. Aufl. 1954, 12. Aufl. 1959):

On appelle série une suite indéfinie de quantités, réelles ou complexes,  u₁, u₂,... u_n....,   formées suivant une loi, ...   Si [..] la somme s_n tend vers une limite finie et déterminée s, la série est convergente et ... .

- T6.  D.A. Quadling, Mathematical Analysis, 1955, VIII Infinite Series, S.85 [12]

When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES. The series is denoted by the symbol Σu_r ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose rth term is u_r .

S. 86 (verkürzt):  If the sum sequence of u_r  has a limit, the infinite series Σu_r  is said to be CONVERGENT [..].

S. 74 (verkürzt):  If there is a number $l$ with [..] then the sequence TENDS TO $l$ .

- T6*  R.G.D. Allen, Mathematical Analysis for Economists, 1956, S. 446-447

A sequence either tends or does not tend to a finite limit.  [..]  (gekürzt:) A sequence, given the intention to add its successive members together, is called an infinite series (written down with plus signs).  [..]  If the sum of n terms of the series has a limit, the series is said to be convergent.

- T7.  K. Hoffman , Analysis in Euclidean Space, 1975, S.35  [13] [14]  (Neue Ausgabe 2007)

In many problems, we are given a sequence  ${\textstyle \{X_{n}\}}$  and we are interested in the convergence of the successive sums. We then speak of the infinite series  ${\textstyle \sum _{n}X_{n}}$

- T8.  Grote Nederlandse Larousse Encyclopedie, in 25 delen (1972-79), 20. Band 1978, S. 138-9   [15]  R e e k s

R e i h e  (Math.) Unbegrenzter Folge von Glieder, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet werden. Eine Reihe wird  $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots +a_{n}+\ldots \$geschrieben; [..] .

- T9.  E. Bishop, D.S. Bridges, Constructive Analysis, 1985, S.31  [16] [17]

A sequence which is meant to be summed is called a series.  A series is said to converge to its sum.  Thus the sequence  ${\textstyle \{2^{-n}\}_{n=1}^{\infty }}$  converges to 0 as a sequence, but as a series it converges to 1.  [...]  The series  ${\textstyle \{x_{n}\}}$  is often loosely referred to as the series  ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$  .

- T10.  H.J. Keisler, Elementary Calculus, 2nd edition 1986, revised Jan. 2021, S.501   [18]  (1st edition 1976)

When we wish to find the sum of an infinite sequence $\langle a_{n}\rangle$, we call it an infinite series and we write it in the form  $a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots$

- T11.  D.S.G. Stirling, Mathematical Analysis: A Fundamental and Straightforward Approach, 1987, p. 49  [19]:

The ${\textstyle \sum }$ sign  d e n o t e s  summation, so that when we  t a l k  of  'the series ${\textstyle \sum a_{n}}$'  we are referring to the process of summing the terms $a_{n}$, that is, we are interested in the behavior of the associated sequence $(s_{n})$.

Zu beachten:  Mit  when we talk of  'the series ${\textstyle \sum a_{n}}$'  soll gemeint sein:  when we  w r i t e  'the series ${\textstyle \sum a_{n}}$' ,  weil nicht völlig klar ist wie man das  s a g e n  soll.

- T12.  E.P. van den Ban, Opgaven Inleiding Analyse (Univ. Utrecht - NL), 2003, S.18  [20]

Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren.  (Eine Reihe ist deshalb eine Folge, wo die Notation darauf hinweist dass wir die Absicht haben zu summieren.)

- T13.  remarque (Pseud.), Les-Mathématiques.net, “Définition de la notion de série numérique”, 2011, 21. Beitrag  [21]

En fait la série et la suite sont vraiment à la base le même objet, mais ce sont les notions de convergence pertinentes qui diffèrent ... .

- T14  Raciquel (Pseud.), Mathematics Educators Stack Exchange, 2014, [22]

(Quote via "How can I teach my students the difference between a sequence and a series?", answer 5/11, line 7):

In modern terms, one might say that a sequence or a series is simply a function N→R,  the same in both cases. I think the significance of these observations is that a sequence and a series are not (readily) distinguished by what they are. They are distinguished by how they are used. We speak of the "sum" of series and the limit of the "terms." The words "sequence" and "partial sum" began to be used, I suppose, to help clarify the intended use. [...] To me, the notion of a sequence and a series are intrinsically difficult to keep straight, the capital sigma being the main difference (or the plus dot-dot-dot).

- T15  E.P. van den Ban, Dictaat Functies en Reeksen (Univ. Utrecht - NL), 2019, S.54  [23]

We gebruiken de notatie ${\textstyle \sum _{k\geq 0}a_{k}}$  om aan te geven dat we de intentie hebben om de elementen van de rij $(a_{n})$ te sommeren.  (Wir wählen die Notation ${\textstyle \sum _{k\geq 0}a_{k}}$  um zu zeigen dass wir beabsichtigen die Elemente der Folge $(a_{n})$ zu summieren.)

Zusammenfassung   Im 19. Jh. war die Cauchy-Bedeutung von 'Konvergenz einer Reihe' (Summenhäufung) sehr dominant, im 20. Jh. ist eine Erweiterung der Gauß-Bedeutung von 'Konvergenz einer Reihe' (Gliedernhäufung) dabei gekommen. Wenn Summenhäufung gemeint ist bleibt man 'Reihe' sagen und schreiben; wenn Gliedernhäufung gemeint ist kombiniert man nicht mit 'Reihe' aber mit das nun als Fachwort gesehene 'Folge'.
Oder man sagt: 'konvergente Folge' (Gliedernhäufung) versus 'summierbare Folge' (Summenhäufung).  Im 19. Jh. sah man 'konvergent' und 'summierbar' oft als synonym.

Es scheint mir sinnvoll den oben stehende Text den 'Reihe-' und 'Folge-'Artikeln als Sektion hinzuzufügen - ohne alle Zitaten.   KONSENS ? --

Deutschsprachige Quellen mit der paradoxen 'Definition':  Reihe := Teilsummenfolge

Weil

      Summe  der Reihe mit Gliedern an $\ \neq \$ Summe  der Teilsummefolge der Folge mit Gliedern an   
    Glieder  der Reihe mit Gliedern an $\ \neq \$ Glieder  der Teilsummenfolge der Folge mit Gliedern an
 Teilsummen  der Reihe mit Gliedern an $\ \neq \$ Teilsummen  der Teilsummenfolge der Folge mit Gliedern an 
Alternieren  der Reihe mit Gliedern an $\ \neq \$ Alternieren  der Teilsummenfolge der Folge mit Gliedern an

kann   "Reihe mit Gliedern a_n"   NICHT gleichwertig sein mit   "Teilsummenfolge der Folge mit Gliedern a_n" .

Und also sollten Quellen wie im nachstehende Klappbox NICHT verwendet werden zur Erklärung eines mathematischen Fachworts  'Reihe'.   KONSENS?

Zitate mit der paradoxen 'Definition':  Reihe = Teilsummenfolge;  chronologisch K. Knopp, Elemente der Funktionentheorie (Sammlung Göschen 1109), 1. Aufl. 1937, S. 83 (ähnlich 4. Aufl. 1955 )

(etwas komprimiert:) Die aus eine erste Zahlenfolge (c_n) hergeleitete Zahlenfolge (s_n) = (c₀+c₁+...+c_n) bezeichnet man kurz durch das Symbol  (2) ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\,}$ oder einfach ${\textstyle \sum c_{n}\,}$ und nennt sie eine unendlichen Reihe, die c_n ihre Glieder, die s_n ihre Teilsummen.

Das Symbol (2) bedeutet also die Folge der Teilsummen (s_n). Ist diese letztere konvergent, so nennt man auch die Reihe (2) konvergent. Der Grenzwert der Folge (s_n) wird als der Wert oder als die Summe der Reihe bezeichnet.

K. Knopp, Funktionentheorie - I Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, (Sammlung Göschen 668) 5. Aufl. (vollständig neu bearbeitet) 1937, S. 18

Wird eine Zahlenfolge (z_n) mittelbar dadurch gegeben, daß mit Hilfe einer unmittelbar gegebenen Zahlenfolge (a_n) die Summen [..] gebildet werden, so bezeichnet man solche Zahlenfolgen auch kurz mit  ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }}$a_n  und spricht von einer "unendlichen Reihe" mit den Glieder a_n .  Die z_n heißen deren "Teilsummen".

O. Haupt, G. Aumann, Differential- und Integalrechnung - Unter besondere Berücksichtiging neuerer Ergebnisse, I. Band: Einführung in die reelle Analysis, 1938, S. 49

die "Reihe" ist - wenigstens für uns - gleichbedeutend mit der Folge der Teilsummen;  die $a_{\nu }$, durch deren Addition die Teilsummen entstehen, heißen die Glieder der Reihe. [..]

P. Dombrowski, Differentialrechnung 1, 1970, S. 57

Als  "unendliche Reihe mit der Gliederfolge $(a_{n})$"  hatten wir die Partialsummenfolge${\textstyle \,\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\,}$ definiert.

K. Endl, W. Luh, Analysis I, 2. Aufl. 1973, S. 31 (1. Aufl. 1972, auch 1994)

Gegeben sei eine Folge {a_ν}. Die Folge {s_n} = {a₁+...+a_n}  nennen wir eine unendlichen Reihe  [..]  s_n wird n-te Teilsumme der Reihe genannt.

H. Heuser, Lehrbuch der Analysis-Teil 1, 1. Aufl. 1980, S. 187 (17. Aufl. 2012)

Die (unendlichen) Reihe mit den Gliedern a₀, a₁, a₂, ... , bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen.

O. Forster, Analysis 1 - Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 4. Aufl. 1983, S. 23

Die Folge s_n der Partialsummen heißt (unendlichen) Reihe und ...

H. König, Analysis 1, 1. Aufl. 1984, S. 79

Die unendliche Reihe ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ist also nichts anderes als die Summenfolge der Zahlenfolge $(a_{n})$ .

R. Remmert, Funktionentheorie I, 1. Aufl. 1984, S. 20 (ins Englische übersetzt, 1991)

Ist (a_ν) eine Zahlenfolge, so heißt die Folge (s_n) der Partialsummen  eine (unendlichen) Reihe mit den Gliedern a_ν .

"Partialsummen der geometrische Reihe"  [..]  "Glieder konvergenter Reihen".

K. Burg, H. Haf, F. Wille, Höhere Mathematik für Ingenieure, Band I, 1. Aufl. 1985, S.74 (11. Aufl. 2017)

Die Zahlenfolge (s_n)  = (a₀+a₁+...+a_n)   heißt die unendliche Reihe mit den Gliedern a₀, a₁, a₂, ... .

M. Barner, F. Flohr, Analysis I, 4. Aufl. 1991, S. 141 (1. Aufl. 1974, auch 2011)

Es sei (a_k) eine Zahlenfolge. Durch die Festsetzung  s_n = ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{n}}$a_k  wird eine Zahlenfolge (s_n) definiert, die man als die zu (a_k) gehörende unendlichen Reihe bezeichnet.

G. Schmieder, Analysis - Eine Einführung für Mathematiker und Informatiker, 1994, S. 49

Es sei (a_k) eine Zahlenfolge. Die Folge (s_n) heißt eine (unendliche) Reihe.

G. Walz, Lexikon der Mathematik - Reihe, 1. Aufl. 2000

Reihe, die Folge der Partialsummen einer gegebenen Folge.

Die einzelnen a_ν bezeichnet man als 'Summanden" oder "Glieder" der Reihe (s_n) .

G. Walz, Lexikon der Mathematik - Summenfolge, 1. Aufl. 2000

Gelegentlich wird der Ausdruck Summenfolge auch als Synonym zum Begriff Reihe verwendet.

Zu beachten.  Ist hier vielleicht gemeint:  "Die Namen 'Summenfolge' und 'Reihe' (für die Abbildung a₁, a₂, ... → a₁, a₁+a₂, ... ) sind synonym?

K. Königsberger, Analysis 1, 6. Aufl. 2004, S. 59

Die Folge (s_n) = (a₁+a₂+...+a_n) heißt unendliche Reihe oder kurz eine Reihe. [..] Die Zahlen an heißen die Glieder, die Zahlen s_n die Partialsummen der Reihe.  Die Zahl s = lim_n→∞ s_n  heißt die Summe oder der Wert der Reihe.

E. Freitag, R. Busam, Funktionentheorie I, 4. Aufl, 2005, S. 25 (ins Englische übersetzt, 2005),

Die Folge {S_n} wird auch die zur Folge (a_k) gehörende Reihe genannt.

H. Amann, J. Escher, Analysis I, 3. Aufl. 2006, S. 195 (ins Englische übersetzt, 2005)

Es sei $(x_{k})$ eine Folge in E. Dann heißt die Folge (s_n) ${\textstyle \,:=\left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)}$  Reihe in E

R. Busam, T. Epp, Prüfungstrainer Analysis, 2. Aufl. 2013, S. 83

Unter der einer Folge (a_k) zugeordnete Reihe  versteht man die Folge (s_n) der (partial-)Summen

H. Junek, Analysis: Funktionen - Folgen - Reihen, 2013, S. 46 (ähnlich in 1. Aufl. 1998)

Unter einen unendlichen Reihe ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ versteht man die Folge der Partialsummen ${\textstyle \,s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ von $(a_{k})$.

Die Reihe heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert, ...

Zu beachten.  Kombiniert steht hier:  ... wenn  die Folge der Partialsummen von  die-Folge-der-Partialsummen-von-$(a_{k})$  konvergiert.

M. Merz, M.v. Wüthrich, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 2013, S. 298

Die Folge (s_n) der Partialsummen von (a_n)  wird als (unendliche) Reihe bezeichnet. Die Zahlen a_n heißen Reihenglieder.

K. Sydsaeter, c.s., Mathe für Wiwis, 3. Aufl. 2013

Eine Reihe (s_n) ist eine Folge der Partialsummen einer Folge (a_n).

O. Forster, Analysis 1 - Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 12., verbesserte Aufl. 2016, S. 43

Aus einer Folge reeller Zahlen entsteht eine (unendliche) Reihe, indem man, grob gesprochen, die Folgenglieder durch ein Pluszeichen verbindet.

Die Folge (s_m) der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe mit den Gliedern a_n  [..]  Die Grenzwert der Partialsummen heißt Summe der Reihe.

S. Kulla; Serlo Education, Analysis Eins - "Mathe für Nicht-Freaks", 1. Aufl. 2017, S. 158-9

Wir definieren zunächst die Folge der Partialsummen als Reihe.

Die Partialsummenfolge ist eine gewöhnliche Folge.

Zu beachten.  Hier fehlt der Unterschied zwischen  (a) die Name 'Partialsummenfolge' (auch 'Teilsummenfolge', 'Summenfolge') für die - einzigartige - Abbildung  Zahlenfolge a₁, a₂, ... → Zahlenfolge a₁, a₁+a₂, ... ,  und (b) die Name 'Partialsummenfolge einer Folge a-n'  für eine "gewöhnliche" Folge. (Die Quadratenfolge kann bezeichnet mit 'Partialsummenfolge der Folge (2n-1)', aber ist die Quadratenfolge deshalb eine Reihe, oder unendliche Summe?)

Deutsche Mathematiker-Vereinigung, Erste Hilfe in Mathe (Website), 2021

Unter  der Reihe a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + ...  verstehen wir die Folge der (Partial-)Summen s₀=a₀, s₁=a₀+a₁, s₂= ...

Hat man eine arithmetische oder geometrische Folge, so gilt für die dazugehörende Reihe .....

Für die Partialsummen der arithmetische Reihe gilt .....

Zu beachten:

"Die Glieder der Abbildung  n→s_n"  bezeichnet nicht nur die Zahlen  s₀, s₁, s₂, usw.,  aber auch (für diejenigen, die dieser Abbildung nicht 'Teilsummenfolge' aber 'Reihe' nennen) die Zahlen  s₀,  s₁ - s₀,  s₂ - s₁, usw.

"Die Partialsummen der Abbildung n→s_n"  bezeichnet nicht nur die Zahlen  s₀,  s₀+s₁,  s₀+s₁+s₂, usw.  aber auch (für diejenigen, die dieser Abbildung nicht 'Teilsummenfolge' aber 'Reihe' nennen) die Zahlen   s₀, s₁, s₂, usw.

}} --

Ist ein 'Reihe'- Begriff Konzept (nicht gleich der 'Zahlenfolge'- Begriff Konzept)  mathematisch zu definieren?

Das mathematisches Objekt (Teilgebiet Analysis) genannt
      Reihe mit Gliedern a n    (notiert:  Reihe Σan  oder  Σan )
und das mathematisches Objekt genannt
      Zahlenfolge mit Gliedern a n    (notiert:  Zahlenfolge (an)  oder  (an) )
haben im mathematischen Sprachgebrauch 
      dieselben Gliedern,  dieselben Partialsummen  und dieselben Summe.   KONSENS ?
 
Zudem: Vor ca 1920 wurde eine Zahlenfolge fast immer Reihe (auch Progression, Sequenz, Serie) genannt; das Alltagswort Folge wurde nicht als Fachwort in der Mathematik verwendet.   KONSENS ?

Und doch ....... behaupten viele Autoren dass es um zwei unterschiedlichen Konzepte geht.  Dass es nicht geht um zwei Namen für dasselbe Objekt:  von Cauchy und Zeitgenossen série genannt, und damals definiert als "une suite indéfinie des quantités qui dérivent les unes des autres suivant une loi déterminée." ;  modern: "eine Abbildung auf N in einer Menge mit Addition und Metrik".

Eine klare Beschreibung/Definition für ein zweites Konzept ist aber nirgendwo zu finden.  Nur nicht-logische Versuche dazu wie:

- "Eine Reihe ist eine Ausdruck (Expression) der Form ...." (im großen Mehrheit der Englischsprachige Calculus-Bücher und Analysis-Bücher, auch in Deutschsprachige Lehrbücher)  -  eine Ausdruck ist allerdings kein 'mathematisches Objekt',  eine Ausdruck kann z. B. nicht konvergieren.

- "Die Folge der Partialsummen der Glieder einer Reihe, heißt Reihe"  -  ein Zirkelschluss.

- "Das Folgenpaar ( {a_n}, {s_n} ) nennen wir eine unendliche Reihe" (F. Wille, Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung, 1976, S. 135) - Urquell: Bourbaki 1942;

- "Wenn die Folge (u₁+···+u_n)  konvergiert, so nennt man die  u n e n d l i c h e n  R e i h e  u₁+u₂+u₃+···  k o n v e r g e n t ." (O. Perron, Irrationalzahlen, 2. Aufl. 1939)

Im Laufe des 20. Jahrhundrets kam die Name "Folge" in Gebrauch (Knopp u.a.), als Fachwort für eine Abbildung auf N in eine beliebigen Menge (nicht notwendig mit Addition und/oder Metrik). Das Wort "Konvergenz" (seit Cauchy 1821 für: 'Zusammenlaufen der Partialsummem') bekam eine zweiten Meinung dabei: 'Zusammenlaufen der Glieder'. Nur gebraucht in Kombination mit 'Folge'.

Wer zeigt hier eine logisch korrekte Definition für das (von 'Zahlenfolge' zu unterscheiden) 'Reihe'-Objekt? -- Hesselp (Diskussion) 01:09, 6. Dez. 2021 (CET)

Die letzte Frage illustriert noch einmal, dass es hier um Theoriefindung geht, nicht um literaturbasiertes Arbeiten.—Butäzigä (Diskussion) 02:10, 6. Dez. 2021 (CET)

Zu "dass es hier um Theoriefindung geht":  das könnte man vielleicht denken wenn man nur die 'letzte Frage' liest.  Aber kombiniert mit einige Sätze zuvor ("Eine klare Beschreibung/Definition für ein zweites Konzept ist aber nirgendwo zu finden.") schrieb ich nichts anderes als:  "nirgendwo zu finden - KONSENS?" -- Hesselp (Diskussion) 11:42, 6. Dez. 2021 (CET)

Du hast eine ganz eigene Vorstellung von dem Begriff Reihe, und legst diesen hier auf mittlerweile über 150 kB dar (was mir schwer zu denken gibt ehrlich gesagt). Deine Interpretationen sind pure Theoriefindung. Und nochmal: ja, es gibt natürlich eine enge Beziehung zwischen den Konzepten Reihe und Folge, aber beide Begriffe sind offenbar (siehe oben) stark in der Literatur vertreten und erfüllen auch ihren Zweck. Bitte störe die Wikipedia nicht, um hier deine Theorien durchzudrücken. Das kannst du gerne in einem Blog oder einer Homepage tun, aber nicht hier. -- Googolplexian (Diskussion) 22:01, 6. Dez. 2021 (CET)

Bitte Googolplexian, kannst du konkret/inhaltlich antworten?

1) Wie gefragt hieroben am 6. Dez. 2021, 01:09:  WO und WARUM es sich um Theoriefindung handeln würde ?

2) Idem.  WARUM es hier im Vergleich zu anderen Beiträge, 'fehl am Platz' wäre ?

3) Meinst du in deinem Satz 1, und auch in Satz 3 (6. Dez. 2021, 22:01) mit dem Wort "Begriff"  (sehe Begriff Sätze 1, 5, 8) :

(a) BedeutungsINHALT einer Bezeichnung,  oder

(b) nicht die Bedeutung von einem Wort oder Ausdrück . . . . .aber – 'fälschlich' – eine BEZEICHNUNG, also ein Wort oder eine Wortgruppe.  Ist es (a) oder (b),  Inhalt oder Form ?

4) Stimmst du mir zu, dass im Lemma Hilfe:Glossar, unter 'Begriffsfindung' mit dem letzten Wort ("Begriffen") nicht (a) aber (b) gemeint ist?  Dies scheint mir wichtig zu sein in der Diskussion über was "Theoriefindung" bedeutet in WPde.

5) Konkrete Beispiele von "Deine Interpretationen"( 6. Dez. 2021, 22:01, Satz 2)?  Wo habe ich etwas nicht mit ausreichende Quellen belegt?

6) Zu deiner "den Konzepten Reihe und Folge, aber beide" (6. Dez. 2021, 22:01, Satz 3): bitte zeige eine logisch korrekte Definition für das (für mich noch immer mysteriöse) , von 'Zahlenfolge' zu unterscheiden, 'Reihe'-Objekt.

Ja, man könnte sagen: die beide Sprachen [Reihe –(Gliederhäufung) – Summen-Konvergenz,  neben:   Folge – Glieder-Konvergenz – Summierbarkeit]  erfüllen beide ihren Zweck.  Aber die zwei Sprachen betreffen inhaltlich nur das einzige Konzept (Sache): Abbildung auf N.   Und auch eine  "Abbildung auf N in eine Menge mit Addition und Metrik"  ist noch immer  "eine Abbildung auf N" .

Bitte, schreibe keine Phrasen wie "hier deine Theorien durchzudrücken" wenn du das nicht völlig konkretisiert. -- Hesselp (Diskussion) 16:36, 7. Dez. 2021 (CET)

es sieht offenbar niemand ausser Dir das Problem, das Du hier in zig kB darzustellen versuchst. WP definiert klar, was eine Folge und was eine Reihe ist und die Definitionen decken sich (nach meinem Eindruck) mit den in der Literatur heute üblichen. Jede Reihe ist eine Folge und jede Folge kann (wie im Artikel Reihe bemerkt) als Reihe verstanden werden. Trotzdem haben beide Begriffe ihre Berechtigung und ihren Anwendungsbereich, wie in den beiden Artikeln jeweils dargestellt. Wenn Dich die historischen Entwicklung der Terminologie interessiert, untersuche das und schreib einen Blogeintrag (oder (Forschungs)Artikel, wenn Du etwas interessantes herausfindest) dazu. Die WP ist aber nicht der Platz für derartige Studien. Wenn Du meinst, dass die übliche Terminologie ungeeignet ist, schreib ein Lehrbuch in einer Deiner Meinung nach besseren und schau, ob sie sich durchsetzt. Aber WP ist nicht der Ort, die Terminologie zu ändern, WP bildet nur ab, was die überwiegende Mehrheit der Literatur nutzt. Du solltest bitte auch bei den anderen Autoren hier guten Willen annehmen und irgendwann akzeptieren, dass Deine Änderungs- oder Klärungswünsche nicht von anderen geteilt werden und Deine Aktivität konstruktiv auf andere Themen lenken. Es gibt genug zu tun. --Qcomp (Diskussion) 17:22, 7. Dez. 2021 (CET)

Qcomp. Danke für deinen Beitrag.  Um richtig zu verstehen was du mir in deine erste vier Sätze deutlich zu machen versuchst, muss ich deine Antwort kennen auf meine 'Begriffs'-Frage (3. Meinst du ...) an Googleplexian, 7 Dez. 2021, 16:36.  Ist es Für dich (a) oder (b)?

Meinst du mit "beide Begriffe" (der Begriff Folge  und der Begriff Reihe) zweimal einen Konzept, ein mathemathisches Objekt?  Oder meinst du mit 'der Begriff Folge' und 'der Begriff Reihe' specielle Bezeichnungen für Konzepten, Ausdrücke (Wörter oder Symbolkonbinationen) ? (Ist der Ausdruck  1, 2, 3, ... für dich eine Folge, und der Ausdruck  1+2+3+... eine Reihe? )

Wo ich lese "Beide Begriffe haben ihren Anwendungsbereich" (je nach Kontext ?), scheint es mir das es dir um Ausdrücke, um Nomenklaturvariante, geht.   Aber das widerspricht was ich im Lemma "Folge (Mathematik)" lese: jede Abbildung auf N wird 'Folge' genannt.  Was ist es nach deiner Meinung, und was ist es – und was sollte es sein – im Lemma "Reihe (Mathematik)" ?::::::Noch etwas. Bei "WP ist nicht der Ort, die Terminologie zu ändern".  WO habe ich eine Terminologieänderung vorgeschlagen? -- Hesselp (Diskussion) 21:23, 7. Dez. 2021 (CET)

PS."WP definiert klar was eine Reihe ist": Jede Reihe ist eine Folge, und umgekehrt kann man es auch so sehen.  Aber ... ihre Definitionen sind weit von gleich.  Höhere Mathematik?

Was ist denn an den Definitionen von Folge und Reihe unklar oder wie Du oben schreibst "paradox"? "Zahlenfolge = Abbildung von $\mathbb {N}$ in eine Zahlenmenge" ("Zahlen" lasse ich im folgenden weg, da es immer hier nur im Folgen in Zahlenmengen geht); "Reihe = die Folge der Partialsummen einer Folge". Für mich ist dann klar: $\mathbb {N} \ni n\mapsto \alpha _{n}\in \mathbb {R}$ definiert eine Folge $(\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $\mathbb {N} \ni n\mapsto \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}\in \mathbb {R}$ definiert für jede Folge $(\beta _{j})_{j\in \mathbb {N} }$ eine Reihe $(\sum _{j=1}^{n}\beta _{j})_{n\in \mathbb {N} }$. Gemäss der Definition ist $(\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge und mit geeigneter Wahl von $\beta _{n}$ kann jede Folge auch als Reihe aufgefasst werden. Aber meist ist das keine sinnvolle/nützliche Perspektive (warum sollte man die Folge $(1/n)_{n\in \mathbb {N} }$ als Reihe auffassen?). Als Reihen werden üblicherweise die Folgen bezeichnet, die "natürlicherweise" als Folge von Partialsummen entstehen. Wo ist das Problem?

Begriff, Konzept, Ausdruck,... ? - keine Ahnung. Für mich sind Folgen und Reihen Abbildungen von $\mathbb {N}$ in eine Zahlenmenge.

"1, 2, 3, ..." und "1+2+3+..." sind Kurzhand-Schreibweisen, die ich (wenn der Kontext stimmt) als für die Folge $(n)_{n\in \mathbb {N} }$ und die Reihe $(\sum _{j=1}^{n}j)_{n\in \mathbb {N} }$ stehend interpretieren würde.

Wenn es Dir nicht um Änderung der Terminologie geht, was ist dann der Zweck der Diskussion? --Qcomp (Diskussion) 22:43, 7. Dez. 2021 (CET)

Qcomp: Vielen Dank für deine detaillierte Reaktion.

a. Deine Satz 1.  Die Folge-Definition ist prima.   Mit  'paradox'  meinte ich dass es mMn unmöglich ist zu sagen: "Reihe ist die Folge der Partialsummen einer Folge".  Weil die Glieder, die Partialsummen, die Summe, das alternierend sein ( etc. ?), einer Reihe (mit Glieder a_n) nicht die Glieder, die Partialsummen, die Summe, das alternierend sein, der Folge der Partialsummem der Folge (a_n)  entsprechen.

b. Deine Satz 2.  Gehört die Folge der Quadratzahlen zu der Menge der 'Reihen' ?  (Weil Summenfolge der ungerade Zahlen.)

c. Kannst du deiner Satz 2 schreiben ohne Symbol-Ausdrücke?  Wie erzählt du mir die Inhalt telefonisch? Oder ist das principiell unmöglich?

d. Deine Satz 3: "Gemäss der Definition ist ${\textstyle (\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge".  Warum dann in Satz 9:  "die Reihe ${\textstyle (\sum _{j=1}^{n}j)_{n\in \mathbb {N} }}$" ?   Kein Wunder, mMn, dass 'the students panic' (E. D. Gaughan, 1968...2010?) wenn von 'Reihe' gesprochen wird.

e. Deine Satz 5. Warum spricht man bei einer 'Reihe' von "entstehen", und bei einer 'Folge' nicht?   Kann mathematisch beschrieben werden wenn eine Reihe "naturlicherweise" entsteht?

f. Satz 7: "keine Ahnung".   Ufff. Für mich ist das Unterschied Inhalt vs. Ausdrucksform, der Kern der Sache. Sehe Begriff (Satz 1-8), Mathematisches Objekt (Satz 1), Bezeichnung (Satz 1-3), Bedeutung (Satz 1-2), Term (sub: Abgrenzung zum 'Ausdruck'/'Formel').
Ist es nicht wünschenswert, in der Wikipedia diesen Unterschied zu machen?

g. Deine Satz 8 sagt:  "Reihe” steht für Abbildungen von $\mathbb {N}$ in eine Zahlenmenge."  Also bitte:  der erste Satz im Lemma “Reihe (Mathematik)” ändern zu:  Reihe ist die historische Name für eine Abbilding von N in eine Zahlenmenge; im laufe des 20. Jhs. meistens ersetzt durch "Folge".   Und wie möglich auch: "Reihe" ist auch die Name einer Symbolform die eine Folge plus die Funktion Reihe->Summenreihe representiert.

h. Siehst du   "1+2+3+..."  auch als eine Kurzhand-Schreibweise für die Folge ${\textstyle (\sum _{j=1}^{n}j)_{n\in \mathbb {N} }}$ ?   für de Folge 1, 3, 6, 10, ... ?   für die Reihe 1, 3, 6, 10, ... ?   für die Folge 1, 1+2, 1+2+3, ... ?   für die Reihe 1, 1+2, 1+2+3, ... ?

z. Deine Satz 10.  Meine Zweck ist, deutlich zu machen dass das Wort "Reihe" (ähnlich in anderen Sprachen) in der Mathematik nicht gesehen werden kann als ein – von 'Abbildung von N' (genannt "Folge") zu unterscheiden – Konzept/(Begriff-a),   aber als eine Möglichkeit (aus mehrere) um eine Abbildung von N zu repräsentieren / aus zu drücken / dar zu stellen / notieren / kommunizieren.  Nicht mittels Darstellung / Anzeige / Wiedergabe ihrer Glieder, aber mittels Darstellung ihrer Differenzen kombiniert mit eine Darstellung der Funktion  Folge -> Summenfolge.
Dabei kommt die historische Bedeutung des Worts "Reihe" ("série") als Synonym für "Folge".
Und meine Zweck am Horizont:  etwas hiervon in die WP’s zu sehen. Obwohl . . . . Michael Spivak schrieb in seinem Calculus (1. Aufl. 1967, S. 389) about the 'less precise', 'somewhat peculiar', 'informal' language: "unlikely to yield to attacks on logical grounds". -- Hesselp (Diskussion) 18:14, 8. Dez. 2021 (CET)

Die ganzen Fragen, die du nach Qcomp's gut lesbarer Antwort in den Raum wirfst, zeigen doch nur erneut, dass es sich bei dieser ganzen von dir angestoßenen Diskussion um Theoriefindung handelt und grundlegende Verständnisprobleme deinerseits vorliegen. -- Googolplexian (Diskussion) 21:13, 8. Dez. 2021 (CET)

@Hesselp: mir kommt vor, dass Du in a.-e.+h. einen Gegensatz zwischen Folge und Reihe zu konstruieren versuchst. Den gibt es aber nicht, da ja gemäss Definition jede Reihe eine Folge ist und jede Folge auch als eine Reihe aufgefasst werden kann. Speziell zu d.: da die Folge ${\textstyle (\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j})_{n\in \mathbb {N} }}$ eben in der speziellen Form angegeben wird, bei der man von einer Reihe spricht, bezeichnet man sie in der Regel als solche. Mit dem Vorschlag g. bin ich nicht einverstanden, da "Reihe" auch heute noch gebraucht wird und nicht durch Folge ersetzt wird. (NB: Ich würde in der EL von Reihe den zweiten Satz weglassen ("Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden."), da er z.B. für konvergente Reihen so verstanden werden kann, dass "die Reihe gleich ihrem Grenzwert ist".) z. Als mathematische Objekte sehe ich keinen Unterschied zwischen Folgen und Reihen. Man kann mE sagen, dass eine Reihe eine Folge ist, die in einer speziellen Weise angegeben wird. Jede Folge lässt sich so angeben, aber nur wenn sie so angegeben wird, nennt man sie Reihe. Sinngemäss steht das steht auch schon im Artikel zu Reihe. --Qcomp (Diskussion) 23:28, 8. Dez. 2021 (CET)

Wegen der unten skizzierten Gründe gibt es mMn kein Problem mit der im Artikel genannten Anschauung von Reihen. Eine unendliche Summe von Zahlen kann auch als rein formales Objekt studiert werden (wird es in der Literatur auch). Zum Beispiel gibt es den Ring der formalen Potenzreihen. Auch wurden und werden divergente Reihen, etwa im Zuge der Limitierungsverfahren oder Tauber-Theorie, im Detail studiert. Zudem kodiert die formale unendliche Summe alle Informationen, die zur Rekonstruktion der zugehörigen Folge (der Partialsummen) benötigt werden. -- Googolplexian (Diskussion) 10:46, 9. Dez. 2021 (CET)

"Eine unendliche Summe von Zahlen". Ist das die Name eines mathematischen Objekt, ein Konzept, ein Begriff-à-la-Satz-1 (sehe Begriff). Oder ist das gemeinnt als Name für einen Ausdruck spezieller Art, ein Begriff-à-la-Satz-8 (sehe Begriff)?   Was 'formale Reihen' betrifft: davon wird gesprochen in der Ring-Theorie, ein Teil der Algebra, nicht der Analyse. Also hier mE nicht relevant. -- Hesselp (Diskussion) 20:46, 9. Dez. 2021 (CET)

In Banachräumen können beide Begriffe identifiziert werden. Allerdings nicht in beliebigen topologischen Räumen $X$. Auch dort sind Folgen definiert und können unter gewissen Bedingungen konvergieren (die stark von der gewählten Topologie abhängen), aber ohne additive Struktur auf $X$ gibt es dort keine Reihen. Nicht umsonst sprechen Amann und Escher bei Reihen von Folgen „spezieller Bauart“, da sie die Gruppenatruktur des Banachraums benötigen, um konstruiert zu werden. Und wenn jetzt erneut von Hessselp der Einwand kommt, er spräche nur von Zahlenfolgen: es ist nun mal praktischer, z.B. das Quotientenkriterium in Termen von $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ statt $\left|{\frac {s_{n+1}-s_{n}}{s_{n}-s_{n-1}}}\right|$ zu formulieren, und genau diese Vereinfachungen machen auch die Definition von Potenz- oder Dirichletreihen um einiges natürlicher (es wäre ein Graus, das Euler-Produkt ohne den Begriff Reihe darstellen zu müssen). Auch Abbildungen zwischen Funktionenräumen werden dadurch super einfach, zum Beispiel das Twisten einer Modulform mit einem Charakter: $\sum _{n\geq 1}a_{n}q^{n}\mapsto \sum _{n\geq 1}a_{n}\chi (n)q^{n}$. Abstrakt gesprochen ist in Banachräumen die Darstellung mittels Reihen nichts anderes als ein Basiswechsel (= Automorphismus vom Raum der Folgen - hier wird es streng mathematisch unrichtig, da wir im Unendlichdimensionalen mit Basen aufpassen müssen aber egal); nur das in der Sprache der Reihen einiges deutlich einfacher zu formulieren ist. Betrachten wir als Beispiel nur den Fall $n=3$:

${\begin{pmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{pmatrix}}=s_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+s_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}=s_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+(s_{2}-s_{1}){\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+(s_{3}-s_{2}){\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Jetzt setzen wir $a_{j}:=s_{j}-s_{j-1}$, und schon haben wir

${\begin{pmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+a_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+a_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

und der Wechsel von der Standardbasis zu $(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)$ ist vollzogen. Die zu den „komplizierteren“ Basisvektoren gehörigen Koeffizienten $a_{j}$ nennt man jetzt einfach „Glieder der Reihe $(s_{m})_{1\leq m\leq n}:=(\sum _{1\leq j\leq m}a_{j})_{1\leq m\leq n}$“, überträgt das ganze auf $n\to \infty$ und mit diesem Werkzeug in der Hand kann man viele mathematische Prozesse (wie lineare Abbildungen zwischen Funktionenräumen) deutlich vereinfachen. Folge und Reihe haben also genauso eine Berechtigung auf einen eigenen Terminus wie Standardbasis und Basis, oder Standardbasis und Eigenbasis (denn more Off-Topic: Auch lassen sich Matrizen nach einem Basiswechsel zur Eigenbasis viel leichter Darstellen, siehe Diagonalisierung). Wenn man von einer Reihe spricht, dann bezieht man sich explizit auf die Koeffizienten der neuen Basis („Glieder der Reihe“), während sich der Terminus Folge auf die Koeffizienten der Standardbasis bezieht („Glieder der Folge“). Und genau das spiegelt auch die Literatur wider. -- Googolplexian (Diskussion) 10:20, 9. Dez. 2021 (CET)

Antwort an Qcomp, 8. Dez. 2021, 23:28 (CET).

A. "dass Du einen Gegensatz zwischen Folge und Reihe zu konstruieren versuchst": Nein, nein, nein, im Gegenteil. Sehe z. B. in meinem Punt g. (hier scharfer/besser formuliert):  Reihe ist die historische Name für (modern formuliert) eine Abbildung von N in eine Zahlenmenge; im laufe des 20. Jhs. in dieser Bedeutung allmählich weitgehend ersetzt durch die Name "Folge".

B. Deine Satz 5. "in der EL van Reihe den zweiten Satz weglassen.":  Völlig OK.

C. Deine Satz 7. Mit  "eine Reihe ist eine Folge die ..."  wird mE zumindest - unrichtig - stark suggeriert dass die Reihen eine echte Teilmenge der Folgen bilden.

D. Deine Satz 8. "wenn sie so angegeben wird, nennt man sie Reihe": Unklar bleibt, von wem die Folge 'so' (im Reihe-Darstellung, d.h. mit Darstellungen ihrer Differenzenfolge und die Folge→Summenfolge - Funktion) niedergeschrieben/angegeben wird. Außerdem bleibt unklar von wem diese Folge "Reihe" genannt wird (genannt werden muss/soll ?).  Every clever student should PANIC!

Wenn Du (oder Googolplexian, oder ... ?) eine Folge heute 'so' notiert, soll die ganze Welt das direkt wissen, und bis zum Ende der Zeit dieser Folge "Reihe" nennen ? Und wenn jemand anderes .....?

Z. Sehe Deutschsprachige Quellen mit ....  Du stimmst mir zu, dass mit  " 'Folge der Teilsumme' heisst 'Reihe' "  keine klare mathematische (Analyse) Bedeutung des Worts 'Reihe' gegeben wird ?  (Nochmal: weil zugleich gesagt wird dass die Reihe mit Glieder a_n = 1, 1/2, 1/4, etc. die Partialsummen 1, 3/2, 7/4, etc. hat,  weil die Folge der Partialsummen (s_n) die Partialsummen 1, 5/2, 17/4, etc. hat.   Und: die Reihe hat eine Summe, aber die Folge der Partialsummen nicht.)

Und dass also die Quellen 'Walz', 'Foster', 'Amann/Escher', und 'Kulla' nicht geeignet sind im Artikel zu Reihe ? -- Hesselp (Diskussion) 20:39, 9. Dez. 2021 (CET)