Gebruiker:Otto ter Haar/logica1
Cijfers
[bewerken | brontekst bewerken]Symbolen
[bewerken | brontekst bewerken]- Cijfers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
- Predicaat: cijfer
- Relaties tussen cijfers: ≡, ≢
symbool | naam | categorie | ariteit | argument1 | argument2 | waarde | notatie |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | nul | cijfers | 0 | ||||
1 | één | cijfers | 0 | ||||
2 | twee | cijfers | 0 | ||||
3 | drie | cijfers | 0 | ||||
4 | vier | cijfers | 0 | ||||
5 | vijf | cijfers | 0 | ||||
6 | zes | cijfers | 0 | ||||
7 | zeven | cijfers | 0 | ||||
8 | acht | cijfers | 0 | ||||
9 | negen | cijfers | 0 | ||||
cijfer | cijfer | predicaten | 1 | cijfers | proposities | cijfer . | |
≡ | identiek | relaties | 2 | cijfers | cijfers | proposities | .≡. |
≢ | niet identiek | relaties | 2 | cijfers | cijfers | proposities | .≢. |
De cijfers, het predicaat cijfer en de relaties tussen cijfers zijn formele syntaxis. Bij het predicaat cijfer plaatsen we om de leesbaarheid te verbeteren een spatie tussen predicaat en argument.
Metasymbolen
[bewerken | brontekst bewerken]- Metavariabelen voor cijfers: c, d, e.
metasymbool | categorie | ariteit |
---|---|---|
c | cijfers | 0 |
d | cijfers | 0 |
e | cijfers | 0 |
Voorbeelden en toelichting
[bewerken | brontekst bewerken]- cijfer c is de propositie die stelt dat c een cijfer is. Deze propositie is een syntactisch atoom.
- c≡d betekent dat c en d het zelfde cijfer zijn.
- d≢e betekent dat d en e verschillende cijfers zijn.
- Alle proposities over cijfers zijn syntactische atomen.
De identiteitsregels voor cijfers
[bewerken | brontekst bewerken]De afleidingsregels voor de identiteitsrelatie, die we in de vorige paragraaf hebben geformuleerd of afgeleid, gelden voor alle categorieën dus ook specifiek voor cijfers.
Reflexiviteit, instantie van ≡RS0 met c als S0:
- ____ ≡Rc
- c ≡ c
De bewijsregel ≡cijfer is de instantie van de bewijsregel ≡S1 met cijfer als unair predicaat.
- _____c ≡ d_____ ≡cijfer
- cijfer c ≡ cijfer d
Symmetrie en transitiviteit:
- c ≡ d ≡S
- d ≡ c
- c ≡ d d ≡ e ≡T
- c ≡ e
Introductieaxioma's van cijfers
[bewerken | brontekst bewerken]Hieronder volgen de axioma's waarmee de tien cijfers worden geïntroduceerd.
- _____ 1I _____ 2I
- cijfer 1 cijfer 2
- _____ 3I _____ 4I
- cijfer 3 cijfer 4
- _____ 5I _____ 6I
- cijfer 5 cijfer 6
- _____ 7I _____ 8I
- cijfer 7 cijfer 8
- _____ 9I _____ 0I
- cijfer 9 cijfer 0
Terug naar de inhoudsopgave
Niet-identiek zijn van cijfers
[bewerken | brontekst bewerken]De niet-identiek-relatie tussen eindsymbolen is symmetrisch:
- c ≢ d ≢S
- d ≢ c
Er zijn 45 niet-identiekheden tussen cijfers.
- ____ 0≢1 ____ 0≢2 ____ 0≢3 ____ 0≢4 ____ 0≢5 ____ 0≢6 ____ 0≢7 ____ 0≢8 ____ 0≢9
- 0 ≢ 1 0 ≢ 2 0 ≢ 3 0 ≢ 4 0 ≢ 5 0 ≢ 6 0 ≢ 7 0 ≢ 8 0 ≢ 9
- ____ 1≢2 ____ 1≢3 ____ 1≢4 ____ 1≢5 ____ 1≢6 ____ 1≢7 ____ 1≢8 ____ 1≢9
- 1 ≢ 2 1 ≢ 3 1 ≢ 4 1 ≢ 5 1 ≢ 6 1 ≢ 7 1 ≢ 8 1 ≢ 9
- ____ 2≢3 ____ 2≢4 ____ 2≢5 ____ 2≢6 ____ 2≢7 ____ 2≢8 ____ 2≢9
- 2 ≢ 3 2 ≢ 4 2 ≢ 5 2 ≢ 6 2 ≢ 7 2 ≢ 8 2 ≢ 9
- ____ 3≢4 ____ 3≢5 ____ 3≢6 ____ 3≢7 ____ 3≢8 ____ 3≢9
- 3 ≢ 4 3 ≢ 5 3 ≢ 6 3 ≢ 7 3 ≢ 8 3 ≢ 9
- ____ 4≢5 ____ 4≢6 ____ 4≢7 ____ 4≢8 ____ 4≢9
- 4 ≢ 5 4 ≢ 6 4 ≢ 7 4 ≢ 8 4 ≢ 9
- ____ 5≢6 ____ 5≢7 ____ 5≢8 ____ 5≢9
- 5 ≢ 6 5 ≢ 7 5 ≢ 8 5 ≢ 9
- ____ 6≢7 ____ 6≢8 ____ 6≢9
- 6 ≢ 7 6 ≢ 8 6 ≢ 9
- ____ 7≢8 ____ 7≢9
- 7 ≢ 8 7 ≢ 9
- ____ 8≢9
- 8 ≢ 9
Terug naar de inhoudsopgave
Indices
[bewerken | brontekst bewerken]Symbolen
[bewerken | brontekst bewerken]- Functie: +
- Relaties tussen indices: ≡, ≢
symbool | naam | categorie | ariteit | argument1 | argument2 | notatie |
---|---|---|---|---|---|---|
+ | concatenatie | functies | 2 | index | cijfer | .+. |
≡ | identiek | relaties | 2 | index | index | .≡. |
≢ | niet identiek | relaties | 2 | index | index | .≢. |
Metasymbolen
[bewerken | brontekst bewerken]- Metavariabelen voor indices: i, j, k.
metasymbool | categorie | ariteit |
---|---|---|
i | indices | 0 |
j | indices | 0 |
k | indices | 0 |
Voorbeelden en toelichting
[bewerken | brontekst bewerken]- index k+c is de propositie die stelt dat de concatenatie k+c van de index k en het cijfer c een index is.
- k≡j betekent dat k en j dezelfde index zijn.
- i≢k betekent dat i en k verschillende indices zijn.
- Alle proposities over indices zijn syntactische atomen.
Syntactische identiteit
[bewerken | brontekst bewerken]Bij indices is er een nieuwe opbouwbewijsregel nodig: inductie naar de opbouw van indices.
Alle predicaten en relaties voldoen aan de regel dat syntactisch identieke objecten verwisseld mogen worden. De volgende afleidingsregels zijn instanties van de congruentieaxioma's toegepast op de concatenatiefunctie en de identiteitsrelatie voor indices:
- i≡j ≡+l c≡d ≡+r
- i+c≡j+c i+c≡i+d
- i≡j i≡k ≡≡l i≡j j≡k ≡≡r
- k≡j i≡k
Identiek zijn van indices
[bewerken | brontekst bewerken]Een index is identiek met zichzelf.
- ____ ≡R
- i ≡ i
Om van twee syntactische objecten vast te stellen dat ze dezelfde index zijn is het nodig de indices cijfer voor cijfer te vergelijken. Hier bewijst zich het nut van het decimale stelsel boven het unaire stelsel. Als N de waarde is van een index opgevat als natuurlijk getal, dan is bij het unaire stelsel het vergelijken van indices een operatie van orde N en bij het decimale stelsel van orde 10log(N). Bij het unaire stelsel moeten bij een vergelijking beide getallen geteld worden. In het decimale stelsel hoeven alleen de cijfers vergeleken te worden.
De identiteitsrelatie van indices is transitief en symmetrisch (beide regels zijn af te leiden uit de regels voor syntactische identiteit voor de relatie ≡ zelf):
- i ≡ j j ≡ k ≡T
- i ≡ k
- i ≡ j ≡S
- j ≡ i
Terug naar de inhoudsopgave
Niet-identiek zijn van indices
[bewerken | brontekst bewerken]Als de ene index lengte één heeft en de andere index een grotere lengte dan zijn ze daarom niet-identiek.
- i≢0 ≢l i≢0 ≢r
- c≢i+d i+d≢c
De laatste regel geeft de situatie waarbij de indices een verschillend laatste cijfer hebben of de inductiestap, waarbij de lengte van de index met één vermindert.
- i≢0 j≢0 i≢j ∨ c≢d ≢∨
- i+c≢j+d
De premisse i≢j ∨ c≢d is de disjunctie van i≢j en c≢d.
Deze afleidingsregels bevatten metavariabelen en zijn daarom schema's van afleidingsregels. Een schema van afleidingsregels is een schema van meestal oneindig veel afleidingsregels, die in een formele afleiding toegepast kan worden door de metavariabelen in het schema te vervangen door objecten van de syntactische categorie die de metavariabele representeert.
- Terug naar de inhoudsopgave
- Verder naar termen
- Verder naar formules met kwantoren
- Verder naar logische wetten