Gebruiker:Otto ter Haar/logica1

Cijfers

Symbolen

• Cijfers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
• Predicaat: cijfer
• Relaties tussen cijfers: ≡, ≢

symbool	naam	categorie	ariteit	argument1	argument2	waarde	notatie
0	nul	cijfers	0
1	één	cijfers	0
2	twee	cijfers	0
3	drie	cijfers	0
4	vier	cijfers	0
5	vijf	cijfers	0
6	zes	cijfers	0
7	zeven	cijfers	0
8	acht	cijfers	0
9	negen	cijfers	0
cijfer	cijfer	predicaten	1	cijfers		proposities	cijfer .
≡	identiek	relaties	2	cijfers	cijfers	proposities	.≡.
≢	niet identiek	relaties	2	cijfers	cijfers	proposities	.≢.

De cijfers, het predicaat cijfer en de relaties tussen cijfers zijn formele syntaxis. Bij het predicaat cijfer plaatsen we om de leesbaarheid te verbeteren een spatie tussen predicaat en argument.

Metasymbolen

• Metavariabelen voor cijfers: c, d, e.

metasymbool	categorie	ariteit
c	cijfers	0
d	cijfers	0
e	cijfers	0

Voorbeelden en toelichting

• cijfer c is de propositie die stelt dat c een cijfer is. Deze propositie is een syntactisch atoom.
• c≡d betekent dat c en d het zelfde cijfer zijn.
• d≢e betekent dat d en e verschillende cijfers zijn.
• Alle proposities over cijfers zijn syntactische atomen.

De identiteitsregels voor cijfers

De afleidingsregels voor de identiteitsrelatie, die we in de vorige paragraaf hebben geformuleerd of afgeleid, gelden voor alle categorieën dus ook specifiek voor cijfers.

Reflexiviteit, instantie van ≡RS₀ met c als S₀:

____ _≡Rc

c ≡ c

De bewijsregel ≡cijfer is de instantie van de bewijsregel ≡S₁ met cijfer als unair predicaat.

_____c ≡ d_____ _≡cijfer

cijfer c ≡ cijfer d

Symmetrie en transitiviteit:

c ≡ d _≡S

d ≡ c

c ≡ d   d ≡ e _≡T

      c ≡ e

Introductieaxioma's van cijfers

Hieronder volgen de axioma's waarmee de tien cijfers worden geïntroduceerd.

_____ _1I       _____ _2I

cijfer 1         cijfer 2

_____ _3I       _____ _4I

cijfer 3         cijfer 4

_____ _5I       _____ _6I

cijfer 5         cijfer 6

_____ _7I       _____ _8I

cijfer 7         cijfer 8

_____ _9I       _____ _0I

cijfer 9         cijfer 0

Terug naar de inhoudsopgave

Niet-identiek zijn van cijfers

De niet-identiek-relatie tussen eindsymbolen is symmetrisch:

c ≢ d _≢S

d ≢ c

Er zijn 45 niet-identiekheden tussen cijfers.

____ _0≢1     ____ _0≢2     ____ _0≢3     ____ _0≢4     ____ _0≢5     ____ _0≢6     ____ _0≢7     ____ _0≢8     ____ _0≢9

0 ≢ 1           0 ≢ 2         0 ≢ 3           0 ≢ 4         0 ≢ 5           0 ≢ 6           0 ≢ 7         0 ≢ 8           0 ≢ 9

____ _1≢2     ____ _1≢3     ____ _1≢4     ____ _1≢5     ____ _1≢6     ____ _1≢7     ____ _1≢8     ____ _1≢9

1 ≢ 2           1 ≢ 3         1 ≢ 4           1 ≢ 5         1 ≢ 6           1 ≢ 7           1 ≢ 8         1 ≢ 9

____ _2≢3     ____ _2≢4     ____ _2≢5     ____ _2≢6     ____ _2≢7     ____ _2≢8     ____ _2≢9

2 ≢ 3           2 ≢ 4         2 ≢ 5           2 ≢ 6         2 ≢ 7           2 ≢ 8           2 ≢ 9

____ _3≢4     ____ _3≢5     ____ _3≢6     ____ _3≢7     ____ _3≢8     ____ _3≢9

3 ≢ 4           3 ≢ 5         3 ≢ 6           3 ≢ 7         3 ≢ 8           3 ≢ 9

____ _4≢5     ____ _4≢6     ____ _4≢7     ____ _4≢8     ____ _4≢9

4 ≢ 5           4 ≢ 6         4 ≢ 7           4 ≢ 8         4 ≢ 9

____ _5≢6     ____ _5≢7     ____ _5≢8     ____ _5≢9

5 ≢ 6           5 ≢ 7         5 ≢ 8           5 ≢ 9

____ _6≢7     ____ _6≢8     ____ _6≢9

6 ≢ 7           6 ≢ 8         6 ≢ 9

____ _7≢8     ____ _7≢9

7 ≢ 8           7 ≢ 9

____ _8≢9

8 ≢ 9

Terug naar de inhoudsopgave

Indices

Symbolen

• Functie: +
• Relaties tussen indices: ≡, ≢

symbool	naam	categorie	ariteit	argument1	argument2	notatie
+	concatenatie	functies	2	index	cijfer	.+.
≡	identiek	relaties	2	index	index	.≡.
≢	niet identiek	relaties	2	index	index	.≢.

Metasymbolen

• Metavariabelen voor indices: i, j, k.

metasymbool	categorie	ariteit
i	indices	0
j	indices	0
k	indices	0

Voorbeelden en toelichting

• index k+c is de propositie die stelt dat de concatenatie k+c van de index k en het cijfer c een index is.
• k≡j betekent dat k en j dezelfde index zijn.
• i≢k betekent dat i en k verschillende indices zijn.
• Alle proposities over indices zijn syntactische atomen.

Syntactische identiteit

Bij indices is er een nieuwe opbouwbewijsregel nodig: inductie naar de opbouw van indices.

Alle predicaten en relaties voldoen aan de regel dat syntactisch identieke objecten verwisseld mogen worden. De volgende afleidingsregels zijn instanties van de congruentieaxioma's toegepast op de concatenatiefunctie en de identiteitsrelatie voor indices:

    i≡j     _≡+l             c≡d     _≡+r

i+c≡j+c               i+c≡i+d

i≡j   i≡k _≡≡l             i≡j   j≡k _≡≡r

  k≡j                         i≡k

Identiek zijn van indices

Een index is identiek met zichzelf.

____ _≡R

i ≡ i

Om van twee syntactische objecten vast te stellen dat ze dezelfde index zijn is het nodig de indices cijfer voor cijfer te vergelijken. Hier bewijst zich het nut van het decimale stelsel boven het unaire stelsel. Als N de waarde is van een index opgevat als natuurlijk getal, dan is bij het unaire stelsel het vergelijken van indices een operatie van orde N en bij het decimale stelsel van orde ¹⁰log(N). Bij het unaire stelsel moeten bij een vergelijking beide getallen geteld worden. In het decimale stelsel hoeven alleen de cijfers vergeleken te worden.

De identiteitsrelatie van indices is transitief en symmetrisch (beide regels zijn af te leiden uit de regels voor syntactische identiteit voor de relatie ≡ zelf):

i ≡ j    j ≡ k _≡T

     i ≡ k

i ≡ j _≡S

j ≡ i

Terug naar de inhoudsopgave

Niet-identiek zijn van indices

Als de ene index lengte één heeft en de andere index een grotere lengte dan zijn ze daarom niet-identiek.

  i≢0   _≢l         i≢0   _≢r

c≢i+d           i+d≢c

De laatste regel geeft de situatie waarbij de indices een verschillend laatste cijfer hebben of de inductiestap, waarbij de lengte van de index met één vermindert.

i≢0   j≢0   i≢j ∨ c≢d _≢∨

  i+c≢j+d

De premisse i≢j ∨ c≢d is de disjunctie van i≢j en c≢d.

Deze afleidingsregels bevatten metavariabelen en zijn daarom schema's van afleidingsregels. Een schema van afleidingsregels is een schema van meestal oneindig veel afleidingsregels, die in een formele afleiding toegepast kan worden door de metavariabelen in het schema te vervangen door objecten van de syntactische categorie die de metavariabele representeert.

• Terug naar de inhoudsopgave
• Verder naar termen
• Verder naar formules met kwantoren
• Verder naar logische wetten