Gebruiker:Patrick/normaaldeler

Normaaldeler

Isometrieën in het complexe vlak

De translaties vormen een normaaldeler van de isometrieën in het complexe vlak (en dus ook in het euclidische vlak):

Met complexe getallen $a$ en $b$, waarbij $|a|=1$, zijn de isometrieën:

• $f(z)=az+b$ (de directe isometrieën)
• $g(z)=a{\overline {z}}+b$ (de indirecte isometrieën)

$f^{-1}(z)=(z-b)/a$, dus voor een translatie $h(z)=z+t$ geldt $(f^{-1}\cdot h\cdot f)(z)=(az+b+t-b)/a=z+t/a$

$g^{-1}(z)={\overline {(z-b)/a}}$, dus voor een translatie $h(z)=z+t$ geldt $(g^{-1}\cdot h\cdot g)(z)={\overline {(a{\overline {z}}+b+t-b)/a}}=z+{\overline {t}}/{\overline {a}}$

In beide gevallen is het resultaat een translatie.

In matrixnotatie:

$f(x)=Ax+b$

$f^{-1}(x)=A^{-1}(x-b)$, dus voor een translatie $h(x)=x+t$ geldt $(f^{-1}\cdot h\cdot f)(x)=A^{-1}(Ax+b+t-b)=x+A^{-1}t$

Het resultaat is een translatie.

Matrixnotatie is hier handiger, omdat geen twee gevallen hoeven te worden onderscheiden. Bovendien geldt het zowel in 2D als in 3D.