Grandi-reeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de wiskunde is de Grandi-reeks de reeks waarvan de termen de afwisselend 1 en -1 zijn, dus met alternerend teken. De formule luidt

De reeks is vernoemd naar de Italiaanse priester, filosoof en wiskundige Luigi Guido Grandi, die de reeks in 1703 besprak. De reeks is niet convergent, want de partiële sommen zijn afwisselend 1 en 0.

Met een naïeve blik zou men aan de volgende uitkomsten kunnen denken:

Deze redeneringen zijn echter duidelijk niet geldig en geven ook geen eenduidig resultaat.

Men kan ook anders tegen de som van de reeks aankijken. Met behulp van Cesàro-sommatie, die ook voor bepaalde divergente reeksen een "som" vindt, zou de uitkomst zijn. Deze "uitkomst" kan ook als volgt worden afgeleid:

Stel

dan geldt

Dit geeft de vergelijking

die zich eenvoudig laat oplossen naar .