Hamiltoniaanse groep

In de groepentheorie is een Dedekindgroep een groep waarvan elke deelgroep normaal is. Dedekindgroepen zijn genoemd naar Richard Dedekind, die ze bestudeerde in een artikel uit 1897. Alle abelse groepen zijn Dedekindgroepen. Dedekind noemde de niet-abelse Dedekindgroepen Hamiltoniaanse groepen, naar William Rowan Hamilton, de bedenker van de quaternionen.

Hamiltoniaanse groepen kunnen volgens een stelling van Dedekind volledig gekarakteriseerd worden. Iedere eindige Hamiltoniaanse groep $G$ is van de vorm:

$G\cong Q_{8}\times A\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$,

waarin:

• $Q_{8}$ die quaternionengroep is,
• $A$ een abelse groep van oneven orde,
• en $n$ een natuurlijk getal is.

Voor $n=0$ ontbreekt de derde factor. Als de groep $A$ triviaal is ontbreekt de tweede factor. De quaternionengroep is daarmee de kleinste Hamiltoniaanse groep, en iedere Hamiltoniaanse groep bevat een deelgroep die met de quaternionengroep isomorf is.

Bijgevolg zijn $Q_{8}\times Q_{8}$ en $Q_{8}\times \mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ geen Hamiltoniaanse groepen. En inderdaad zijn $\{(q,q)|q\in Q_{8}\}$ resp. $\{(1,{\overline {0}}),(i,{\overline {1}}),(-1,{\overline {2}}),(-i,{\overline {3}})\}\,$ niet-normale deelgroepen, waarbij $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}$.