Kleene-ster

In de wiskunde en informatica is de Kleene-ster een unaire operator op een verzameling strings of een verzameling symbolen. Het toepassen van de Kleene-ster op de verzameling V wordt genoteerd als V*. De operator wordt veel gebruikt in reguliere expressies waarin hij geïntroduceerd werd door Stephen Kleene om bepaalde automaten te karakteriseren.

1. Als V een verzameling strings is, wordt de Kleene-ster gedefinieerd als de kleinste superset die ε (de lege string) bevat en die gesloten is onder concatenatie van strings.
2. Als V een verzameling symbolen is, is V* de verzameling met alle strings van symbolen uit V, inclusief de lege string.

Definitie

We definiëren

$V_{0}=\{\epsilon \}\,$

en op recursieve wijze de verzameling:

$V_{i+1}=\{wv\mid w\in V_{i}{\mbox{ en }}v\in V\}$, met $i\geq 0$.

Als V een formele taal is, dan bevat V_i alle mogelijke strings die ontstaan door i keer een element uit V te nemen (mogelijk dezelfde) en deze te concateneren.

De Kleene-ster kan nu gedefinieerd worden als:

$V^{*}=\bigcup _{i=0}^{\infty }V_{i}=\left\{\epsilon \right\}\cup V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}\cup \ldots$

V* bevat dus alle mogelijke strings met eindige lengte die gegenereerd kunnen worden met symbolen uit V.

Voorbeelden

De Kleene-ster van een verzameling met strings:

{"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc", ...}

De Kleene-ster van een verzameling met symbolen:

{'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", ...}

Generalisatie

De Kleene-ster wordt vaak gegeneraliseerd voor een willekeurige monoïde (M, $\circ$), een verzameling M en een binaire operatie $\circ$ op M zodanig dat:

• (geslotenheid) $\forall a,b\in M:~a\circ b\in M$
• (associativiteit) $\forall a,b,c\in M:~(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$