Logaritmische vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een logaritmische vergelijking is een speciaal soort wiskundige vergelijking, waarbij de onbekende in het argument of in het grondtal van een logaritme voorkomt.

Voorbeelden[bewerken]

Volgende voorbeelden zijn logaritmische vergelijkingen:

Oplossen van een logaritmische vergelijking[bewerken]

Het oplossen van een logaritmische vergelijking verloopt volgens een 3-delig stappenplan:

1. Het opstellen van de bestaansvoorwaarden: een logaritme kan alleen van een positief getal en het grondtal moet per definitie positief zijn en ook verschillend van 1.
2. Logaritmen met een verschillende grondtal moeten worden omgezet naar logaritmen met hetzelfde grondtal. Dit kan via volgende formule (waarin a een willekeurig grondtal is):
3. Het oplossen van de vergelijking , rekening houdend met de bestaansvoorwaarden.

Voorbeeld 1[bewerken]

Gegeven is volgende vergelijking:

  • We bepalen eerst de bestaansvoorwaarden:
en
en
Dit resulteert in x > 0 (want -3 is kleiner dan 0).
  • De vergelijking werken we verder uit (grondtallen zijn dezelfde, dus daar hoeft niets aan veranderd te worden):
  • Gelet op de bestaansvoorwaarde, namelijk x > 0, kan x2 geen oplossing zijn van de oorspronkelijke vergelijking. Omdat x1>0, is dit de (enige) oplossing.

Voorbeeld 2[bewerken]

Gegeven is volgende vergelijking:

  • We bepalen eerst de bestaansvoorwaarden:
en en
en
Dit resulteert in x > 0 (want -2 is kleiner dan 0).
  • De vergelijking werken we verder uit (grondtallen zijn dezelfde, dus daar hoeft niets aan veranderd worden):
  • Gelet op de bestaansvoorwaarde, namelijk x > 0, is dit een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking.

Logaritmische vergelijkingen als hulpmiddel[bewerken]

Een logaritmische vergelijking kan de oplossing bieden om moeilijke problemen, zoals exponentiële vergelijkingen met ingewikkelde grondtallen of exponenten, op een eenvoudige wijze op te lossen.

Voorbeeld[bewerken]

Gegeven is volgende exponentiële vergelijking:

Deze vergelijking is quasi onmogelijk op te lossen met de normale rekenregels, omdat 3 en 5 nooit hetzelfde grondtal kunnen zijn van dezelfde exponent. De logaritmen bieden een soort oplossing, die het probleem van gelijke grondtallen kan omzeilen.

  • We nemen van beide leden de logaritme:
  • De macht in het argument van een logaritme mogen we vooraan plaatsen:
  • We werken deze vergelijking verder uit, gebruikmakend van de rekenregels:

Zie ook[bewerken]