Klein speelde in 2016 de juniorenfinale op de Australian Open waarin hij samen met Patrik Rikl het dubbelspel verloor van Alex de Minaur en Blake Ellis. In 2021 won hij zijn eerste challenger in het dubbelspel en nam hij deel aan de Olympische Zomerspeln in zowel het enkel- als dubbelspel. In het dubbelspel bereikte hij de tweede ronde en in het enkelspel bleef hij steken in de eerste ronde. In 2022 won hij twee challengers in het enkelspel en nam deel aan Wibledon waar hij niet voorbij de eerste ronde geraakte.