Markovproces

In de kansrekening is een markovproces een stochastisch proces, een opeenvolging van toevallige gebeurtenissen, waarvoor geldt dat het verleden in een gegeven situatie irrelevant is om de toekomst te voorspellen. Deze statistische eigenschap van een markovproces wordt de markoveigenschap genoemd. De eigenschap en het proces zijn genoemd naar de Russische wiskundige Andrej Markov, die de basis legde voor een grondige studie van dergelijke processen.

De brownse beweging is een voorbeeld van een markovproces.

Definitie

Een stochastisch proces $(X_{t},\ t\in T)$ heet markovproces, als het de markoveigenschap heeft, wat inhoudt dat de voorwaardelijke kans $P(X_{t_{n}}=c_{n}|X_{t_{1}}=c_{1},X_{t_{2}}=c_{2},\ldots ,X_{t_{n-1}}=c_{n-1})$ voor gegeven $n$ voor alle $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ en $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ gelijk is aan $P(X_{t_{n}}=c_{n}|X_{t_{n-1}}=c_{n-1})$.

De verzameling $T$ heet parameterruimte en het waardenbereik $X(T)$ toestandsruimte.

Het proces beschrijft de toestand $X_{t}$ van een systeem op het tijdstip $t.$ De markoveigenschap luidt in woorden: de voorwaardelijke kans om het systeem op een tijdstip $t_{n}$ aan te treffen in de toestand $c_{n},$ gegeven de toestanden waarin het systeem zich op een willekeurig aantal voorgaande tijdstippen bevond, is alleen afhankelijk van de toestand $c_{n-1}$ op het laatst gegeven tijdstip.

Men onderscheidt markovprocessen met

• discrete parameterruimte, meestal als discrete tijd aangeduid
• continue parameterruimte

en

• eindige toestandsruimte
• aftelbaar oneindige toestandsruimte
• overaftelbare toestandsruimte

Een markovproces in discrete tijd en met eindige toestandsruimte heet een markovketen. Ook als de toestandsruimte niet eindig is, maar wel aftelbaar en discreet spreekt men wel van een markovketen. Zelfs wordt wel ieder markovproces in discrete tijd als keten aangeduid.