Mertensfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In getaltheorie is de Mertensfunctie de rekenkundige functie

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

waarin μ(k) de Möbiusfunctie is.

Omdat de Möbiusfunctie alleen de waarden -1, 0 en +1 aanneemt, is het overduidelijk dat de Mertensfunctie langzaam beweegt en dat er geen x is zodat M(x) > x. Het vermoeden van Mertens gaat nog verder, bewerende dat er geen x is waarbij de absolute waarde van de Mertensfunctie groter is dan de wortel van x. De onjuistheid van het vermoeden van Mertens was bewezen in 1985. Echter, de Riemannhypothese is equivalent aan een zwakker vermoeden van de groei van M(x), namelijk

M(x) = o(x^{\frac12 + \epsilon}).

Omdat grote waarden van M tenminste net zo hard groeien als de wortel van x, is dit een strikte grens op de groeivoet.

Externe links[bewerken]