Möbiusfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De klassieke möbiusfunctie μ(n) is een belangrijke multiplicatieve functie in getaltheorie en combinatoriek. Ze is vernoemd naar de Duitse wiskundige August Ferdinand Möbius (1790-1868), door wie deze functie werd geïntroduceerd in 1831.

Definitie[bewerken]

μ(n) is gedefinieerd voor alle strikt positieve natuurlijke getallen n en kan waardes aannemen in {−1, 0, 1} afhankelijk van de factorisatie van n in priemfactoren. De functie is als volgt gedefinieerd:

  • μ(n) = 1 als n een positief kwadraatvrij geheel getal is met een even aantal verschillende priemfactoren.
  • μ(n) = −1 als n een positief kwadraatvrij geheel getal is met een oneven aantal verschillende priemfactoren.
  • μ(n) = 0 als n niet kwadraatvrij is.

Dit impliceert dat

  • μ(1) = 1 (0 priemfactoren, 1 telt zelf niet mee)
  • μ(2) = −1 (1 priemfactor: 2)
  • μ(3) = −1 (1 priemfactor: 3)
  • μ(4) = 0 (kwadraat)
  • μ(5) = −1 (1 priemfactor: 5)
  • μ(6) = 1 (2 priemfactoren: 2 en 3)
  • μ(7) = −1 (1 priemfactor: 7)
  • μ(8) = 0 (2x kwadraat, 2x4)
  • μ(9) = 0 (kwadraat)

De eerste 50 functiewaarden staan in deze grafiek:

Mobiusfunctie voor n = 1 tot 50