Kwadraatvrij geheel getal

Een kwadraatvrij geheel getal is in de wiskunde een geheel getal dat niet deelbaar is door een kwadraatgetal, behalve door 1.

Voorbeelden

• Het getal $10$ een kwadraatvrij geheel getal omdat $10=2\cdot 5$ en $2$ en $5$ geen kwadraten zijn.
• Het getal $18$ is geen kwadraatvrij getal, want $18$ is deelbaar door $9=3^{2}$.

De rij van positieve kwadraatvrije getallen begint als volgt:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33

Equivalente definities van kwadraatvrije getallen

• Een geheel getal $n$ is kwadraatvrij dan en slechts dan als in de priemontbinding van het getal elke priemdeler precies één keer voorkomt.
• Ook: een geheel getal $n$ is kwadraatvrij als voor geen enkele priemdeler $p$ van $n$ geldt: $p$ is deelbaar op ${\tfrac {n}{p}}$.
• En ook: een geheel getal $n$ is kwadraatvrij als voor iedere ontbinding $n=a\times b$ geldt dat $a$ en $b$ relatief priem zijn.

Uit deze definitie volgt dat elk priemgetal een kwadraatvrij getal is.

• Tot slot: het natuurlijke getal $n$ is kwadraatvrij dan en slechts dan als $\mu (n)\neq 0$, waarin $\mu$ staat voor de Möbiusfunctie.

Verdeling van kwadraatvrije getallen

Laat $Q(x)$ het aantal kwadraatvrije getallen zijn tussen $1$ en $x$. Dan geldt:

$Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})$

Hierdoor geldt de volgende limiet:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}$

waarbij $\zeta$ de Riemann-zèta-functie is.

Op dezelfde manier geldt dat, als $Q(x,n)$ het aantal n-de-machtsvrije getallen tussen $1$ en $x$ is, dan:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}$

Testen van kwadraatvrijheid

Er is nog geen algoritme bekend, waarmee snel kan worden beslist of een willekeurig gegeven getal kwadraatvrij is, tenzij de priemontbinding wordt uitgevoerd, wat echter voor zeer grote getallen veel rekenwerk vraagt.
Booker, Hiary en Keating hebben een algoritme ontwikkeld waarmee, zonder de priemontbinding uit te voeren, aangetoond kan worden of een gegeven geheel getal kwadraatvrij is. Het algoritme veronderstelt echter wel de correctheid van de veralgemeende Riemann-hypothese (veralgemeend in de zin dat de Riemann-zèta-functie vervangen is door de meer algemene L-functies).

Vermoeden van Erdös over kwadraatvrije getallen

De binomiaalcoëfficiënt $\left(_{\ n}^{2n}\right)$ is nooit kwadraatvrij voor $n>4$. Dit is in 1996 bewezen door Ramaré en Granville.

Bronnen, noten en/of referenties