Kwadraatvrij geheel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een kwadraatvrij geheel getal is in de wiskunde een geheel getal dat niet deelbaar is door een kwadraatgetal, behalve door 1.

Voorbeelden
  • Het getal een kwadraatvrij geheel getal omdat en en geen kwadraten zijn.
  • Het getal is geen kwadraatvrij getal, want is deelbaar door .

De rij van kwadraatvrije getallen begint als volgt:[1]

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33

Equivalente definities van kwadraatvrije getallen[bewerken]

  • Een geheel getal is kwadraatvrij dan en slechts dan als in de priemontbinding van het getal elke priemdeler precies één keer voorkomt.
  • Ook: een geheel getal is kwadraatvrij als voor geen enkele priemdeler van geldt: is deelbaar op .
  • En ook: een geheel getal is kwadraatvrij als voor iedere ontbinding geldt dat en relatief priem zijn.
Uit deze definitie volgt dat elk priemgetal een kwadraatvrij getal is.
  • Tot slot: het natuurlijke getal is kwadraatvrij dan en slechts dan als , waarin staat voor de Möbiusfunctie.


Verdeling van kwadraatvrije getallen[bewerken]

Laat het aantal kwadraatvrije getallen zijn tussen en . Dan geldt:

Hierdoor geldt de volgende limiet:

waarbij de Riemann-zèta-functie is.

Op dezelfde manier geldt dat, als het aantal n-de-machtsvrije getallen tussen en is, dan:

Testen van kwadraatvrijheid[bewerken]

Er is nog geen algoritme bekend, waarmee snel kan worden beslist of een willekeurig gegeven getal kwadraatvrij is, tenzij de priemontbinding wordt uitgevoerd, wat echter voor zeer grote getallen veel rekenwerk vraagt.
Booker, Hiary en Keating hebben een algoritme ontwikkeld waarmee, zonder de priemontbinding uit te voeren, aangetoond kan worden of een gegeven geheel getal kwadraatvrij is. Het algoritme veronderstelt echter wel de correctheid van de veralgemeende Riemann-hypothese (veralgemeend in de zin dat de Riemann-zèta-functie vervangen is door de meer algemene L-functies).[2]

Vermoeden van Erdös over kwadraatvrije getallen[bewerken]

De binomiaalcoëfficiënt is nooit kwadraatvrij voor . Dit is in 1996 bewezen door Ramaré en Granville.[3]