Methode van Jacobi

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de numerieke wiskunde is de methode van Jacobi, genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi, een algoritme om iteratief een benaderde oplossing te vinden voor een stelsel van lineaire vergelijkingen. De methode van Jacobi is net als de Gauss-Seidel methode en de SOR-methode een speciale splitsingsmethode. De methode werd ontwikkeld, omdat Gauss-eliminatie weliswaar een exacte oplossing geeft, maar erg gevoelig is voor rekenfouten. Een iteratieve benadering heeft hier minder last van.

Methode[bewerken]

Bij de methode van Jacobi wordt de matrix van het stelsel lineaire vergelijkingen

gesplitst in de hoofddiagonaal en de rest:

De vergelijking kan dan geschreven worden als:

of, mits inverteerbaar is, als

De iteratieve benadering van de oplossing verloopt via:

Uitgeschreven in de elementen van de matrices en de vectoren betekent dit voor het stelsel van lineaire vergelijkingen met onbekenden

dat het -de element van de -ste iteratie berekend wordt, uitgaande van een willekeurige startwaarde , als:

Een minimale voorwaarde is dat de diagonaalelementen ongelijk zijn aan 0. Voor de convergentie van de methode van Jacobi is strikte diagonale dominantie van de matrix voldoende.

Referenties[bewerken]

Externe links[bewerken]