Ongelijkheid van Jensen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

De ongelijkheid van Jensen is een stelling uit de kansrekening, genoemd naar de Deense wiskundige Johan Jensen.

Als X een integreerbare reële stochastische variabele is met waarden in het open interval , en f is een convexe reële functie op , dan geldt

waarin E de verwachtingswaarde aangeeft.

Hierbij kan het rechterlid van de ongelijkheid eventueel oneindig zijn. De ongelijkheid blijft gelden als een halve rechte of de hele reële as is (a=–∞ en/of b=+∞).

Voorbeelden van toepassing[bewerken]

De absolute waarde is een convexe functie, dus

Algemener is voor r ≥ 1 de functie convex, dus als 0<pq en , geldt

Pas de ongelijkheid van Jensen toe op de stochastische variabele en de convexe functie .

Hieruit volgt dat in het bijzonder geval van een kansmaat, de Lp-ruimten een dalende ketting van verzamelingen vormen: