De ongelijkheid van Jensen is een stelling uit de kansrekening , genoemd naar de Deense wiskundige Johan Jensen .
Als
X
{\displaystyle X}
reële stochastische variabele is met waarden in het open interval
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
f
{\displaystyle f}
convexe reële functie op
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
f
(
E
(
X
)
)
≤
E
(
f
(
X
)
)
{\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))}
waarin
E
{\displaystyle \operatorname {E} }
verwachtingswaarde aangeeft.
Hierbij kan het rechterlid van de ongelijkheid eventueel oneindig zijn. De ongelijkheid blijft gelden als
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
a
=
−
∞
{\displaystyle a=-\infty }
b
=
+
∞
{\displaystyle b=+\infty }
De absolute waarde is een convexe functie, dus
|
E
X
|
≤
E
|
X
|
{\displaystyle |\operatorname {E} X|\leq \operatorname {E} |X|}
Algemener is voor
r
≥
1
{\displaystyle r\geq 1}
x
↦
|
x
|
r
{\displaystyle x\mapsto |x|^{r}}
0
<
p
≤
q
{\displaystyle 0<p\leq q}
f
∈
L
q
{\displaystyle f\in L^{q}}
(
E
(
|
X
|
p
)
)
1
p
≤
(
E
(
|
X
|
q
)
)
1
q
{\displaystyle \left(\operatorname {E} (|X|^{p})\right)^{1 \over p}\leq \left(\operatorname {E} (|X|^{q})\right)^{1 \over q}}
Pas de ongelijkheid van Jensen toe op de stochastische variabele
|
X
|
p
{\displaystyle |X|^{p}}
x
↦
|
x
|
q
/
p
{\displaystyle x\mapsto |x|^{q/p}}
Hieruit volgt dat in het bijzonder geval van een kansmaat, de Lp-ruimten een dalende ketting van verzamelingen vormen:
…
⊃
L
p
⊃
L
q
⊃
…
⊃
L
∞
{\displaystyle \ldots \supset L^{p}\supset L^{q}\supset \ldots \supset L^{\infty }}
