Ongelijkheid van Jensen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De ongelijkheid van Jensen is een stelling uit de kansrekening, genoemd naar de Deense wiskundige Johan Jensen.

Als X een integreerbare reële stochastische variabele is met waarden in het open interval , en f is een convexe reële functie op , dan geldt

waarin E de verwachtingswaarde aangeeft.

Hierbij kan het rechterlid van de ongelijkheid eventueel oneindig zijn. De ongelijkheid blijft gelden als een halve rechte of de hele reële as is (a=–∞ en/of b=+∞).

Voorbeelden van toepassing[bewerken]

De absolute waarde is een convexe functie, dus

Algemener is voor r ≥ 1 de functie convex, dus als 0<pq en , geldt

Pas de ongelijkheid van Jensen toe op de stochastische variabele en de convexe functie .

Hieruit volgt dat in het bijzonder geval van een kansmaat, de Lp-ruimten een dalende ketting van verzamelingen vormen: