Overleg:Ampersandkromme

Asymptoten?

Volgens mij heeft de curve helemaal geen asymptoten, maar wel raaklijnen. En dan 6 horizontale en 2 verticale waarvan de laatste elk 2 raakpunten hebben. Madyno (overleg) 14 jan 2020 17:02 (CET)

@Madyno: Nee, zeker geen asymptoten. En dat aantal raaklijnen klopt ook wel (ik verduidelijkte je opmerking). Maar ja, het staat er wel, en als je een (niet altijd – dat blijkt nu) betrouwbare bron raadpleegt, zoals deze hier, dan lees ik toch ook twee keer asymptotes (goed vertaald dus).

Vreemd, asymptoten in een punt...

Maar de genoemde punten zijn inderdaad de raakpunten. Dan maar (weer) eigen onderzoek (niet origineel, denk ik). De genoemde intrinsieke vergelijking is te herschrijven als:

$4{y}^{4}+(6{x}^{2}-11x-3){y}^{2}+(6{x}^{4}-21{x}^{3}+19{x}^{2})=0\quad$of:

${y}^{2}={\tfrac {1}{8}}{f}_{1}(x)\pm {\tfrac {1}{8}}{\sqrt {{f_{2}}(x)}}$

Dus (ja die conclusie durf ik wel te trekken): er is geen sprake van welke asymptoot dan ook! Want voor welke waarde(n) van $x$ zou $y$ naderen tot $\pm \infty$? De kromme bestaat, blijkens de laatste relatie, uit vier functies, die twee aan twee elkaars spiegelbeeld zijn in de x-as. En uit de tweede vorm blijkt ook dat die vier functies hetzelfde interval als domein hebben; ook $x$ kent dus zijn grenzen.

Overigens, ik twijfel aan de volgende opmerking op MathWorld: this curve is significant because it is the original example (after subtracting a small positive constant k) of a quartic curve having 28 real bitangents. Tja, een vierdegraads kromme heeft maximaal 28 bitangenten! Zie de (en) kromme van Trott.

En dit alles brengt mij ertoe (na de broodnodige edits in het lemma) te eindigen met een vraag: Moet dit lemma niet "gewoon" de naam Ampersandkromme hebben, want "curve" wordt slechts mondjesmaat binnen de wiskunde gebruikt._ DaafSpijker _overleg 16 jan 2020 10:18 (CET)

Ampersandkromme lijkt me ook meer NL. Madyno (overleg) 16 jan 2020 18:05 (CET)

 Uitgevoerd En dat "subtracting a small positive constant k" kan natuurlijk ook zijn: "adding a small positive constant k". 't Is maar van welke kan te het bekijkt. Evenwel, de beide ampersands verdwijnen dan._ DaafSpijker _overleg 16 jan 2020 18:25 (CET)

Genus

Het viel me nu pas op: de ampersandkromme is een kromme met genus 0. In het NL-lemma genus (wiskunde) staat echter geen informatie over het genus van vlakke n−degraads krommen.
Daarbij vraag ik me af wat een niet-ingevoerde lezer aan die informatie heeft. Maar, het lijkt me zeker correct dat in het lemma "Genus" (in een nieuwe paragraaf 3: Genus van een vlakke kromme) dan toch ook maar de formule moet worden opgenomen waarmee uit de graad $n$ van de carthesische vergelijking en het aantal $s$ van de singuliere punten van de kromme het genus $G$ kan worden berekend:

$G={\frac {1}{2}}(n-1)(n-2)-s$

_ DaafSpijker _overleg 19 jan 2020 12:24 (CET)