Een nieuw bewijs van de kleine stelling van Fermat.[brontekst bewerken]

[kleine stelling van Fermat nieuw.][brontekst bewerken]

$A,B,p,q,r$ zijn gehele getallen..

$p$ is een priemgetal.

Is $A^{p-1}-1$ deelbaar door $p$ . ${\frac {A^{p-1}-1}{p}}=?$

${\frac {A^{p-1}-1^{p-1}}{p}}={\frac {A^{p-1}-B^{p-1}}{p}}$

${\frac {A^{p-1}-B^{p-1}}{p}}={\frac {(p+q)^{p-1}-(p+r)^{p-1}}{p}}$

${\frac {A^{p-1}-1^{p-1}}{p}}={\frac {(p+q)^{p-1}-\{p+(-p+1)\}^{p-1}}{p}}$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}={\frac {\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}p^{p-1-k}q^{k}-\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}p^{p-1-k}(-p+1)^{k}}{p}}$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}=\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}p^{p-2-k}q^{k}-\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}p^{p-2-k}(-p+1)^{k}$

${\frac {A^{p-1}-1}{p}}=\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p-1}{k}}p^{p-2-k}\{q^{k}-(-p+1)^{k}\}$

Het volgende is het vermelden waard.

${\binom {p-1}{p-1}}p^{p-2-(p-1)}\{q^{p-1}-(-p+1)^{p-1}\}={\frac {{\binom {p-1}{p-1}}\{q^{p-1}-(-p+1)^{p-1}\}}{p}}$

$\{q^{p-1}-(-p+1)^{p-1}\}$ is deelbaar door p.