Naar inhoud springen

Parasitisch getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een -parasitisch getal[1] (geschreven in het tientallig stelsel) is een positief geheel getal dat met het getal vermenigvuldigd wordt door het meest rechtse cijfer (dat de eenheden aangeeft) geheel naar links te verplaatsen (dus als eerste cijfer van het nieuwe getal te kiezen).

Voorbeelden
  • ; daarmee is een 4-parasitisch getal.
  • ; dan is ook een 4-parasitisch getal.
  • ; het getal is dus 5-parasitisch.

Anders gezegd. Een parasitisch getal ondergaat een cyclische permutatie van de cijfers met één plaats naar rechts:

Een bijkomende afspraak is dat een getal dat een voorloopnul heeft, zoals , geen parasitisch getal is, hoewel toch:

Een parasitisch getal kan vaak worden berekend uitgaande van een cijfer , met , door herhaald met te vermenigvuldigen, waarbij dan telkens het eerste cijfer van de uitkomst wordt weggelaten en het cijfer op de plaats van de eenheden wordt gezet.

Voorbeeld met

Hieruit blijkt dat een 4-parasitisch getal is.

Voorbeeld met

Hier ontstaat als 'nieuw' getal . Het is nu handig de voorloopnul te handhaven.

En dit resulteert dan in het 4-parasitisch getal .

Soms leidt het proces tot een getal dat gelijk is aan het voorgaande getal. Bijvoorbeeld met is:

In dit geval kan het proces worden voortgezet met het getal ; dus zonder het eerste cijfer te wissen.

Overigens, is niet het kleinste 2-parasitisch getal; zie de tabel hierna.

Opmerking. Met kunnen ook repdigits, zoals worden opgevat als 1-parasitische getallen.

Tabel voor n = 1, 2, ..., 9

[bewerken | brontekst bewerken]

Getallen met meer dan 30 cijfers zijn afgebroken en na het teken \\ op de volgende regel voortgezet.

n kleinste n-parasitisch getal aantal
cijfers
1 1 1
2 105.263.157.894.736.842 18
3 1.034.482.758.620.689.655.172.413.793 28
4 102.564 6
5 142.857 6
6 1.016.949.152.542.372.881.355.932.203.389.\\
830.508.474.576.271.186.440.677.966
58
7 1.014.492.753.623.188.405.797 22
8 1.012.658.227.848 13
9 10.112.359.550.561.797.752.808.988.764.044.\\
943.820.224.719
44

Bovenstaande kleinste tientallig geschreven -parasitische getallen[2] worden ook Dyson-getallen genoemd, naar de Brits-Amerikaanse wiskundige Freeman Dyson (1923-2020), naar aanleiding van een puzzel die hij in april 2009 inzond naar de New York Times.[3]

Clifford Pickover noemt in zijn boek Wonders of numbers parasitische getallen waarvan het laatste cijfer ongelijk is aan het getal waarmee vermenigvuldigd wordt, pseudoparasite numbers.[4] In de tabel hierboven is dan 142857 pseudo 5-parasitisch.

In het bovenstaande blijkt dat een 4-parasitisch getal is. Natuurlijk zijn dan ook:

4-parasitisch.

Is verder , dan is:

zodat: .

Merk op dat de lengte van de periode van gelijk is aan en dat nu .

In het algemeen kan op deze manier een -parasitisch getal worden berekend bij gegeven en daaruit berekende waarde van . Het getal waarvoor:

is dan -parasitisch.

Voorbeeld met (met ):

  • (nl) Parasitic gap (parasitisch gat); dit is de naam van een bijzondere syntactische constructie in de taalkunde.