Probleem van Waring

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor ieder positief geheel getal k een geheel getal s is, zodat ieder natuurlijk getal te schrijven is als som van s k-de machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.

Het getal g(k)[bewerken]

Voor ieder getal k is g(k) gedefinieerd als het kleinst mogelijke getal ss met de bovengenoemde eigenschap. De vier-kwadratenstelling van Lagrange zegt dat ieder getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Drie kwadraten is niet mogelijk aangezien 7 = 4+1+1+1. Zo heeft 23 negen derde-machten nodig: 23 = 8+8+1+1+1+1+1+1+1.

Euler veronderstelde dat g(k)=2^k+[(3/2)^k]-2, waarin [x] het gehele deel van x is (zie entierfunctie). Tegenwoordig is g(k) voor de meeste getallen k bekend:

g(k) = 
\begin{cases} 
2^k+[(\tfrac 32)^k]-2 & \mbox{als  } 2^k(\tfrac 32)^k+[(\tfrac 32)^k] \leq 2^k \\
2^k+[(\tfrac 32)^k]+[(\tfrac 43)^k]-2 & \mbox{als  } 2^k(\tfrac 32)^k+[(\tfrac 32)^k] >2^k \mbox{en }[(\tfrac 43)^k][(\tfrac 32)^k]+[(\tfrac 43)^k]+[(\tfrac 32)^k]=2^k\\
2^k+[(\tfrac 32)^k]+[(\tfrac 43)^k]-2 & \mbox{als  } 2^k(\tfrac 32)^k+[(\tfrac 32)^k] >2^k \mbox{en }[(\tfrac 43)^k][(\tfrac 32)^k]+[(\tfrac 43)^k]+[(\tfrac 32)^k]>2^k 
\end{cases}

Het getal G(k)[bewerken]

Belangrijker nog dan g(k) is het getal G(k). Dit is het getal zodat ieder voldoende groot getal kan worden geschreven als som van s k-de machten. Dit wil zeggen dat er een getal q is zodat ieder getal groter dan q zo kan worden geschreven.

Ondergrens voor G(k)[bewerken]

Het getal G(k) is groter dan of gelijk aan:

  • 2^{r+2} als k=2^r met r\ge 2 of k=3\cdot 2^r;
  • p^{r+1} als p een priemgetal groter dan 2 is en k=p^r(p-1);
  • \tfrac 12(p^{r+1}-1) als p een priemgetal groter dan 2 is en k=\tfrac 12 p^r(p-1);
  • k+1 voor alle getallen k>1.

Bovengrens voor G(k)[bewerken]

De volgende bovengrenzen zijn bekend voor G(k):

k         3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20
G(k)\leq     7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142