Probleem van Waring

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor ieder positief geheel getal een geheel getal is, zodat ieder natuurlijk getal te schrijven is als som van -de machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.

Het getal g(k)[bewerken]

Voor ieder getal is gedefinieerd als het kleinst mogelijke getal s met de bovengenoemde eigenschap. De vier-kwadratenstelling van Lagrange zegt dat ieder getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Drie kwadraten is niet mogelijk aangezien 7 = 4+1+1+1. Zo heeft 23 negen derde-machten nodig: 23 = 8+8+1+1+1+1+1+1+1.

Euler veronderstelde dat , waarin het gehele deel van is (zie entierfunctie). Tegenwoordig is voor de meeste getallen bekend:

Het getal G(k)[bewerken]

Belangrijker nog dan is het getal . Dit is het getal zodat ieder voldoende groot getal kan worden geschreven als som van -de machten. Dit wil zeggen dat er een getal is zodat ieder getal groter dan zo kan worden geschreven.

Ondergrens voor G(k)[bewerken]

Het getal is groter dan of gelijk aan:

  • als met of ;
  • als een priemgetal groter dan 2 is en ;
  • als een priemgetal groter dan 2 is en ;
  • voor alle getallen .

Bovengrens voor G(k)[bewerken]

De volgende bovengrenzen zijn bekend voor :

         3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20
    7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142