Mertensfunctie

In getaltheorie is de Mertensfunctie

$M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)$

waarin μ(k) de Möbiusfunctie is.

Omdat de Möbiusfunctie alleen de waarden -1, 0 en +1 aanneemt, is het overduidelijk dat de Mertensfunctie langzaam beweegt en dat er geen x is zodat M(x) > x. Het vermoeden van Mertens gaat nog verder, bewerende dat er geen x is waarbij de absolute waarde van de Mertensfunctie groter is dan de wortel van x. De onjuistheid van het vermoeden van Mertens was bewezen in 1985. Echter, de Riemannhypothese is equivalent aan een zwakker vermoeden van de groeit van M(x), namelijk

$M(x)=o(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })$.

Omdat grote waarden van M tenminste net zo hard groeien als de wortel van x, is dit een strikte grens op de groeivoet.

Externe links

• Waarden van de Mertensfunctie voor de eerste 2500 n worden gegeven door PrimeFan's Mertens Waarden Pagina