Inverse matrix

In de lineaire algebra is de inverse matrix, of kort de inverse, van een vierkante matrix het inverse element van die matrix met betrekking tot de bewerking matrixvermenigvuldiging. Niet iedere matrix heeft een inverse. Als de inverse bestaat heet de matrix inverteerbaar. De inverse van de inverteerbare matrix A, genoteerd als $A^{-1}$, is ook een vierkante matrix van dezelfde dimensie als A, die zowel links als rechts met A vermenigvuldigd de eenheidsmatrix oplevert.

Definitie

Een n×n-matrix A heet inverteerbaar, als er een n×n-matrix B bestaat waarvoor geldt

$AB=BA=I$.

Hierbij is $I$ de n×n-eenheidsmatrix. De matrix B heet de inverse van A en wordt aangeduid door $A^{-1}$.

Een inverteerbare matrix wordt ook regulier genoemd en een niet-inverteerbare singulier.

Eigenschappen

• (Uniciteit) De inverse is eenduidig bepaald. Stel namelijk dat $B$ de inverse is van $A$ en $C$ een andere inverse. Dan is

$B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$.

• Als $A$ inverteerbaar is, is ook $A^{-1}$ inverteerbaar en

  $(A^{-1})^{-1}=A$

• Als $A$ en $B$ inverteerbare n×n-matrices zijn, is ook hun product $AB$ inverteerbaar en

  $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

• De getransponeerde matrix $A^{T}$ van een inverteerbare matrix A, is ook inverteerbaar en

  $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

Inverteerbaarheid

Voor een n×n-matrix $A$ zijn de volgende uitspraken equivalent

• $A$ is inverteerbaar
• de determinant van $A$ is verschillend van 0.
• de vergelijking $Ax=0$ heeft als enige oplossing $x=0$
• de vergelijking $Ax=b$ heeft precies één oplossing voor elke $b$
• $A^{T}$ is inverteerbaar
• er is een n×n-matrix B zodat $AB=I$
• er is een n×n-matrix C zodat $CA=I$
• de kolommen van $A$ zijn lineair onafhankelijk
• de rang van $A$ is n

Matrixinversie

Het daadwerkelijk bepalen van de inverse van een matrix wordt matrixinversie genoemd. Omdat de betrokken matrices in de praktijk veelal grote afmetingen hebben, is de inversie een bewerkelijke opgave met veel numerieke moeilijkheden. Er is veel onderzoek naar gedaan, zowel theoretisch als praktisch bij het ontwikkelen van algoritmen.

In principe wordt de inverse van A gegeven door

$A^{-1}={\frac {1}{\det \left(A\right)}}{\rm {{adj}\left(A\right)}}$

Hierin is det(A) de determinant van A en adj(A) de geadjugeerde van A.

Een van de numerieke methoden voor het bepalen van de inverse van een inverteerbare A is door middel van Gauss-eliminatie de uitgebreide matrix [ A | I ] te herleiden tot [ I  | $A^{-1}$]

Niet-vierkante matrices

Voor een niet-vierkante matrix A kan zowel voor rechts- als voor linksvermenigvuldiging een aparte matrix bestaan die bij de vermenigvuldiging met A een eenheidsmatrix oplevert. Zulke matrices worden niet als inverse matrix beschouwd. Men gebruikt echter soms de termen linksinverse en rechtsinverse zonder dat het om een inverse matrix gaat.

Voorbeeld

De 2×2-matrix $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ is inverteerbaar als $ad-bc$, de determinant van A, ongelijk is aan 0. De inverse van A wordt dan gegeven door:

$A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}$

Toepassing

De inverse wordt wel toegepast voor het herhaald oplossen van een stelsel vergelijkingen $Ax=b$ voor wisselende waarden van de vector $b$. De oplossing is immers $x=A^{-1}b$ en die kan, als eenmaal de inverse bekend is, door matrixvermenigvuldiging berekend worden.