Logische implicatie

Venn-diagram van de implicatie - rood is waar

De logische implicatie is in de logica een bewering die stelt dat als P waar is, Q ook waar is. Deze bewering is alleen onwaar als het antecedent P waar is en het consequent Q onwaar is. De waarheid van het geheel hangt alleen af van de waarheidswaarden van de samenstellende delen en niet van hun betekenis, wat soms tot tegenintuïtieve resultaten leidt. Om dit te benadrukken wordt de implicatie ook wel materiële implicatie genoemd.

De implicatie wordt aangegeven met een pijl. "Als P dan Q" wordt bijvoorbeeld geschreven als P → Q. De samenstelling P → Q → R dient gelezen te worden als P → (Q → R).

De waarheidstabel van de implicatie is als volgt:

$\scriptstyle P$	$\scriptstyle Q$	$\scriptstyle P\rightarrow Q$
waar	waar	waar
waar	onwaar	onwaar
onwaar	waar	waar
onwaar	onwaar	waar

Een logische implicatie $\scriptstyle P\rightarrow Q$ is logisch equivalent aan $\scriptstyle \neg P\lor Q$. Dit wil zeggen dat beide formules dezelfde waarheidswaarde hebben voor alle mogelijke toekenningen van waar en onwaar aan P en Q.

Valkuilen van de implicatie

Stel dat gegeven zijn de uitspraken A→B en A. Hieruit valt B te concluderen. Immers, als gegeven is dat we morgen gaan picknicken, in het geval dat morgen de zon schijnt (A→B) en bovendien dat morgen de zon schijnt, is de conclusie dat we morgen gaan picknicken.

Stel nu dat gegeven zijn de uitspraken A→B en ¬B. Hieruit valt ¬A te concluderen. Immers, stel dat morgen de zon schijnt. Gegeven is dat áls morgen de zon schijnt, dat we dan gaan picknicken morgen. Dus we gaan morgen picknicken. Het was echter ook gegeven dat we morgen niet gaan picknicken (¬B). Hier hebben we blijkbaar te maken met een tegenspraak. De aanname dat morgen de zon schijnt is hier foutief. De geldige conclusie is dus ¬A. Deze manier van bewijzen wordt overigens een 'bewijs uit het ongerijmde' genoemd.

Conversationele implicatuur

Stel dat gegeven zijn de uitspraken A→B en ¬A. Hieruit valt logisch gezien niets te concluderen. Het is een misverstand te denken dat A→B impliceert dat ¬A → ¬B. In het dagelijkse taalgebruik echter, is dat vaak wel zo. Bijvoorbeeld als een vader tegen zijn kind zegt: "Als je je gedraagt, krijg je een snoepje". Hiermee bedoelt de vader doorgaans ook: "Als je je niet gedraagt, krijg je geen snoepje". In de formele logica is dat echter niet zo. A→B zegt niet meer dan dat A B impliceert.

Een dergelijke gevolgtrekking die niet geldig is in de propositielogica, maar in het alledaagse taalgebruik wel gangbaar is, wordt een conversationale implicatuur genoemd.

Zie ook

• Logisch gevolg