Golfvergelijking

De golfvergelijking beschrijft het verloop van een golf in tijd en ruimte. De vergelijking behoort tot de klasse van elementaire partiële differentiaalvergelijkingen. Ze vindt toepassing in verscheidene wiskundige en natuurkundige disciplines: de akoestiek (geluidsgolven), elektromagnetisme (golfverschijnselen op transmissielijnen of in hoogfrequent componenten), de lichtleer (lichtgolven) en vloeistofdynamica. Varianten van de vergelijking worden ook gebruikt in de kwantummechanica en algemene relativiteitstheorie.

Voor een scalaire grootheid $u$ wordt de golfvergelijking gegeven door:

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u=c^{2}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}$

Hierin is $\nabla$ de nabla-operator. Zo heeft de golfvergelijking in het tweedimensionale vlak de volgende vorm:

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)$

Indien de golf zich driedimensionaal kan voortplanten, verandert de formule logischerwijze:

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)$

c is veelal constant, doch indien de voorplantingssnelheid afhankelijk is van de golflengte, dient ze vervangen te worden door de fasesnelheid:

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.$