Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Tussenwaardestelling In de reëelwaardige analyse stelt de tussenwaardestelling dat een reële functie
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
b
)
{\displaystyle f(b)}
Het beeld van een interval van een continue functie is zelf ook weer een interval.
De stelling van Bolzano : Een continue functie, die op een interval zowel een negatieve als een positieve waarde aanneemt, heeft op dat interval een nulpunt . De tussenwaardestelling kan op twee manieren worden geformuleerd.
Tussenwaardestelling voor een waarde Zij
f
{\displaystyle f}
reëelwaardige functie op het interval
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
γ
{\displaystyle \gamma }
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
b
)
{\displaystyle f(b)}
f
(
a
)
≤
γ
≤
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)\leq \gamma \leq f(b)}
f
(
a
)
≤
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)\leq f(b)}
of
f
(
b
)
≤
γ
≤
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)\leq \gamma \leq f(a)}
f
(
b
)
≤
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)\leq f(a)}
Dan bestaat er een
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
f
(
c
)
=
γ
{\displaystyle f(c)=\gamma }
In het speciale geval dat
γ
=
0
{\displaystyle \gamma =0}
Tussenwaardestelling voor een interval Zij
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
{\displaystyle f}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
b
)
{\displaystyle f(b)}
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f([a,b])}
[
f
(
a
)
,
f
(
b
)
]
⊆
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle [f(a),f(b)]\subseteq f([a,b])}
f
(
a
)
≤
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)\leq f(b)}
of
[
f
(
b
)
,
f
(
a
)
]
⊆
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle [f(b),f(a)]\subseteq f([a,b])}
f
(
b
)
≤
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)\leq f(a)}
De functie
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
[
0
,
2
]
{\displaystyle [0,2]}
0
≤
c
≤
4
{\displaystyle 0\leq c\leq 4}
0
≤
x
≤
2
{\displaystyle 0\leq x\leq 2}
f
(
x
)
=
c
{\displaystyle f(x)=c}
x
=
c
{\displaystyle x={\sqrt {c}}}
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997256364b06acf0710e5d24da39e8c42991a249)
![{\displaystyle f([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8bf1526030f5a9f1564d4ef14c5d63350dfe9a)
![{\displaystyle [f(a),f(b)]\subseteq f([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507ba2aeae3bd8185ab9dfba89c5f5572b4bd337)
![{\displaystyle [f(b),f(a)]\subseteq f([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1773e3b8a6960fa1275bd27d4c07c081090cca)
![{\displaystyle [0,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120ef5837b0c64a40a2333f5aefd3c36fc458e91)
