Stelling van De Moivre-Laplace

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Als n steeds groter wordt zal de vorm van de binomiaalverdeling steeds meer op een gladde normale verdeling gaan lijken.

De stelling van De Moivre-Laplace, is een stelling in de kansrekening die stelt dat de binomiale verdeling met parameters en voor grote waarden van de normale verdeling benadert. De stelling werd voor het eerst door De Moivre afgeleid in 1733 en later opgenomen in de tweede druk van The Doctrine of Chances van De Moivre, gepubliceerd in 1738. De stelling is genoemd naar Abraham de Moivre en Pierre-Simon Laplace. De stelling kan nu gezien worden als een speciaal geval van centrale limietstelling.

Stelling[bewerken]

Als de stochastische variabele binomiaal verdeeld is met parameters en , geldt:

waarin de verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling is.

Dit houdt in dat voor toenemende waarden van de verdeling van steeds dichter nadert tot een normale verdeling met verwachtingswaarde en variantie .

Bewijs[bewerken]

De stelling kan nu als een speciaal geval van de centrale limietstelling opgevat worden, maar moest door De Moivre apart als limiet bewezen worden. Daarbij maakte De Moivre gebruik van de door hem ontdekte vorm van de formule van Stirling, die een benadering met exponentiële functies geeft van een n! voor grote .

Vuistregel[bewerken]

Als vuistregel hanteert men wel dat de benadering voldoende is voor waarden van en , waarvoor zowel als .

Voorbeeld[bewerken]

Normale benadering van de binomiale verdeling met en door de normale verdeling met en

In de nevenstaande figuur zien we de binomiale verdeling met parameters en en de benaderende normale verdeling met en .