Stelling van Zsigmondy

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De stelling van Zsigmondy is een stelling uit de getaltheorie, gepubliceerd door de Oostenrijks-Hongaarse wiskundige Karl Zsigmondy (1867-1925) in 1892.[1]

De stelling kan als volgt worden geformuleerd:[2]

Als a en m gehele getallen zijn groter dan 1, dan bestaat er steeds een priemgetal p dat een deler is van am-1 maar geen deler is van ai-1 voor i = 1,...,m-1; met uitzondering van deze gevallen:
wanneer a = 2 en m = 6, of
wanneer m = 2 en a + 1 is een macht van 2.

Men noemt een dergelijke priemfactor een (priem)getal van Zsigmondy.

Deze stelling wordt gebruikt in de theorie van eindige groepen.

De stelling kan veralgemeend worden:

Als a > b twee gehele getallen groter dan 1 zijn, die onderling relatief priem zijn, en m is een geheel getal groter dan 1, dan bestaat er steeds een priemgetal p dat een deler is van am - bm maar geen deler is van ai - bi voor i = 1,...,m-1; met uitzondering van deze gevallen:
a = 2, b = 1 en m = 6, of
a + b is een macht van twee en m = 2.

Als b = 1 bekomt men de eerste vorm van de stelling.

Voorbeelden[bewerken]

  • Als a = 2 (en b = 1) worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor m = 1 , 2, 3, ... gegeven door de rij:
1, 3, 7, 5, 31, 1, 127, 17, 73, 11, 2047, 13, 8191, 43, ...[3]
(voor m= 1 en 6 is er dus geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de eerste uitzondering op de stelling)
  • Als a = 3 (en b = 1) worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor m = 1, 2, 3, ... gegeven door de rij:
2, 1, 13, 5, 121, 7, 1093, 41, 757, 61, 88573, 73, 797161, ...[4]
(voor m=2 is er geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de tweede uitzondering op de stelling)