Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de operatorentheorie , een deelgebied van de wiskundige analyse , is een Toeplitz-operator een lineaire operator in de Hardy-ruimte
H
2
{\displaystyle H^{2}}
geassocieerd met een gegeven begrensde functie.
We noteren de eenheidscirkel als de eendimensionale torus
T
,
{\displaystyle \mathbb {T} ,}
wat hetzelfde is als het gesloten interval
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
met de eindpunten geïdentificeerd.
L
2
(
T
)
{\displaystyle L^{2}({\mathbb {T} })}
is de Hilbertruimte van kwadratisch integreerbare complexwaardige periodieke functies met periode
2
π
.
{\displaystyle 2\pi .}
De Hardyruimte
H
2
{\displaystyle H^{2}}
is hiervan een gesloten deelruimte. Zij
P
{\displaystyle P}
de loodrechte projectie van vectoren van
L
2
(
T
)
{\displaystyle L^{2}({\mathbb {T} })}
op
H
2
.
{\displaystyle H^{2}.}
De Toeplitz-operator
T
φ
{\displaystyle T_{\varphi }}
geassocieerd met een essentieel begrensde functie
φ
∈
L
∞
(
T
)
{\displaystyle \varphi \in L^{\infty }({\mathbb {T} })}
is het resultaat van de vermenigvuldiging met
φ
{\displaystyle \varphi }
gevolgd door loodrechte projectie:[1]
T
φ
:
H
2
→
H
2
:
f
↦
P
(
φ
f
)
{\displaystyle T_{\varphi }:H^{2}\to H^{2}:f\mapsto P(\varphi f)}
De meest gebruikte orthonormale basis voor
H
2
{\displaystyle H^{2}}
bestaat uit de goniometrische functies
χ
n
:
T
→
C
:
t
↦
e
i
n
t
,
n
∈
N
{\displaystyle \chi _{n}:{\mathbb {T} }\to {\mathbb {C} }:t\mapsto e^{int},\ n\in {\mathbb {N} }}
Als
φ
{\displaystyle \varphi }
een essentieel begrensde periodieke functie is met Fouriercoëfficiënten
φ
^
(
n
)
=
1
2
π
∫
t
=
0
2
π
φ
(
t
)
χ
−
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\hat {\varphi }}(n)={1 \over 2\pi }\int _{t=0}^{2\pi }\varphi (t)\chi _{-n}(t)\,dt}
dan worden de matrixelementen
a
m
,
n
{\displaystyle a_{m,n}}
van
T
φ
{\displaystyle T_{\varphi }}
ten opzichte van die orthonormale basis gegeven door
a
m
,
n
=
(
T
φ
χ
n
,
χ
m
)
=
1
2
π
∫
t
=
0
2
π
φ
(
t
)
χ
m
−
n
(
t
)
d
t
=
φ
^
(
m
−
n
)
.
{\displaystyle a_{m,n}=(T_{\varphi }\chi _{n},\chi _{m})={1 \over 2\pi }\int _{t=0}^{2\pi }\varphi (t)\chi _{m-n}(t)\,dt={\hat {\varphi }}(m-n).}
Met andere woorden is de matrix van
T
φ
{\displaystyle T_{\varphi }}
constant op de diagonalen, wat precies de voorwaarde is voor een (eindige) Toeplitz-matrix .[1]
Bronnen, noten en/of referenties
↑ a b Hoofdstuk 7 in Douglas, Ronald G., "Banach Algebra Techniques in Operator Theory," Pure and Applied Mathematics 49 , Academic Press 1972.