Tweede afgeleide

De tweede afgeleide van een functie is de afgeleide van de afgeleide van die functie, dus de functie die verkregen wordt door de oorspronkelijke functie twee maal te differentiëren (alles onder de veronderstelling dat de afgeleiden bestaan). De tweede afgeleide geeft dus de mate van verandering aan van de eerste afgeleide. Net als de eerste afgeleide speelt ook de tweede een rol in het functieonderzoek, onder andere bij het bepalen van extreme punten van een functie en het bepalen van buigpunten.

Voorbeeld

We bepalen de tweede afgeleide van de functie:

f(x)={\frac {x^{3}}{2}}+e^{x}+4x-6

De eerste afgeleide is dan:

f'(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+e^{x}+4

De tweede afgeleide is de afgeleide van de eerste afgeleide:

f''(x)=\left({\frac {3}{2}}x^{2}+e^{x}+4\right)'=3x+e^{x}

Schrijfwijzen

De tweede afgeleide van een functie $y=f(x)$ kan op meerdere manieren worden geschreven, bijvoorbeeld als:

f''(x),\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\ f^{(2)}(x)

In deze notaties kan $f$ steeds vervangen worden door ' $y$ .

Toepassingen

De eerste afgeleide wordt gebruikt om de steilheid, richtingscoëfficiënt, van een grafiek te achterhalen. Door de punten waar de afgeleide 0 is nader te onderzoeken, kunnen ook maxima en minima bepaald worden. In dat nadere onderzoek speelt de tweede afgeleide een rol. Door middel van de eerste afgeleide is te zien of een grafiek daalt of stijgt. De grafiek kan dan echter nog steeds toenemend dalen/stijgen, of afnemend dalen/stijgen, of lineair zijn. Welke van de drie het is, is te achterhalen met de tweede afgeleide.

De tweede afgeleide speelt echter ook nog een rol bij het bepalen van buigpunten. Hiermee kan worden bepaald of de grafiek overgaat van bol (convex) naar hol (concaaf) of van hol naar bol. Men kan de buigpunten vinden door de tweede afgeleiden gelijk te stellen aan 0.

f''(x)=0

.

In het artikel buigpunten wordt hier dieper op ingegaan.

Voorbeeld

We onderzoeken de functie

f(x)={\frac {x^{3}}{5}}

Zoals te zien, stijgt de grafiek over het hele interval [-5,5]. Te zien is echter ook dat in de oorsprong de richtingscoëfficiënt gelijk is aan 0. Weliswaar is de functie op [-5,5] stijgend, maar de mate van stijging varieert. Dat de functie stijgend is zien we aan de eerste afgeleide, want deze is nooit negatief:

f'(x)={\frac {3}{5}}x^{2}

Het minimum van de afgeleide is 0 (in het punt $x=0$ ). Dat betekent dat de grafiek in het punt $x=0$ horizontaal verloopt.

Aan de eerste afgeleide lezen we af dat de functie stijgend is, maar de mate van stijging blijkt uit de tweede afgeleide.

f''(x)={\frac {6}{5}}x

Deze is negatief voor negatieve waarden van $x$ en positief voor positieve waarden. De grafiek stijgt dus toenemend vanaf $x=0$ en afnemend tot $x=0$ .

NB: Aan de tweede afgeleide is niet te zien of de grafiek al dan niet stijgt of daalt, maar alleen of hij toenemend of afnemend stijgt of daalt.

Zie ook

Derde afgeleide