Vermoeden van Beal

Het vermoeden van Beal is een vermoeden in de getaltheorie, dat luidt:

als de gehele getallen $x,y,z>2$ en $a,b,c>0$ voldoen aan:

$a^{x}+b^{y}=c^{z},$

dan hebben $a,b$ en $c$ een gemeenschappelijke priemfactor groter dan 1.

De miljardair Andrew Beal heeft dit vermoeden geformuleerd toen hij zich in 1993 bezighield met de laatste stelling van Fermat

Voorbeelden

Er geldt: $3^{3}+6^{3}=3^{5}$ en de getallen 3 en 6 hebben de factor 3 gemeen. De getallen 7 en 14, waarvoor geldt dat $7^{3}+7^{4}=14^{3}$ hebben 7 als gemene deler.

De relatie $2^{n}+2^{n}=2^{n+1}$ heeft de generalisaties:

$3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2};\quad n\geq 1$

$(a^{n}-1)^{2n}+(a^{n}-1)^{2n+1}=[a(a^{n}-1)^{2}]^{n};\quad a\geq 2,n\geq 3$

en

$[a(a^{n}+b^{n})]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{n+1};\quad a\geq 1,b\geq 1,n\geq 3$

Bronnen

• http://en.wikipedia.org/wiki/Beal's_conjecture