Discrete cosinustransformatie

Een discrete cosinustransformatie (DCT) drukt een opeenvolging uit van een eindig aantal datapunten in termen van een som van cosinusfuncties trillend op verschillende frequenties. Discrete cosinustransformaties zijn belangrijk voor vele programma's in de wetenschap en bouwkunde, van datacompressie of audiocompressie (zoals bij MP3) en beeldcompressie (zoals bij JPEG) tot spectrale methoden voor de numerieke oplossing van deels verschillende formules. Het gebruik van cosinus- in plaats van sinusfuncties is belangrijk in deze toepassingen: voor compressie is gebleken dat cosinusfuncties efficiënter zijn.

Werking DCT

Figuur 1

Figuur 2

3D tabel

Om te begrijpen hoe een DCT werkt, is het belangrijk te weten welke data gemanipuleerd wordt. Een afbeelding wordt voorgesteld als een array van natuurlijke getallen. Ieder getal stelt een grijswaarde van een pixel van de afbeelding voor. Figuur 1 geeft een grijs vierkant van 8x8 pixels weer. In figuur 2 worden de pixelwaarden in een matrix voorgesteld. Deze grijswaardes gaan van 0 (zwart) tot 255 (wit). De weergegeven grijstint heeft 140 als waarde.

Een DCT transformeert de grijswaardes, gegeven in de array naar het frequentiedomein. Dit betekent dat de golfvorm bestaande uit de waardes in de matrix worden voorgesteld als de som van een reeks golven met een bepaalde amplitude en frequentie. Om de afbeelding als een golfvorm te kunnen voorstellen, kan de 3D-tabel beschouwd worden. In deze figuur is iedere de waarde van elke pixel voorgesteld als de hoogte op de verticale as. De verandering in deze waardes (of hoogtes) kan worden gezien als een 2D-golfvorm.

Deze 2D-goldvorm wordt door de DCT opgedeeld in frequentiecomponenten, net zoals een 1D-golfvorm die wordt omgezet naar het frequentiedomein. De som van de frequentiecomponenten gemaakt door DCT is gelijk aan de originele golf. Het resultaat van de DCT, uitgevoerd op figuur 1a, is te zien in onderstaande matrix. De waarde van de laagste frequentie staat in de linkse bovenhoek. De frequentie stijgt als we meer naar rechts of naar onder gaan.

$A=\begin{bmatrix}800&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}$

Het enige element heeft een waarde van 800. Dit komt doordat de afbeelding bestaat uit slechts 1 grijswaarde.

Toepassing

Nu we een algemeen idee hebben hoe de waardes van een DCT worden berekend passen we dit toe op een voorbeeld. We berekenen de DCT van volgende 2x2 matrix.

$A=\begin{bmatrix}120&115\\112&100\end{bmatrix}$

We maken gebruik van onderstaande formule. $F(u,v) = \sum_{r=0} ^{M-1} \sum_{s=0} ^{N-1} \frac{2 \cdot C(u)\cdot C(v)}{\sqrt[2]{M \cdot N}} cos \left( \frac{(2r + 1)u\pi}{2M}\right) cos \left( \frac{(2s + 1)v\pi}{2N}\right)f(r,s)$

C(δ) =$\frac{ \sqrt[2]{2}} {2}$ enkel als δ = 0

C(δ) = 1 andere gevallen In de formule stellen u en v de posities voor van het element dat we aan het berekenen zijn in de matrix. M en N stellen dan weer het aantal rijen en kolommen voor. R en s zijn de waardes van de posities die we doorlopen bij iedere berekening. We krijgen dus een som van alle waardes in de array.

In dit voorbeeld is M = 2 en N = 2, we gaan element per element te werk, dus we krijgen 4 berekeningen. Als eerste is u = 0 en v = 0. De waarde van C(u) en C(v) is dan ook $\frac{ \sqrt[2]{2}} {2}$ . $F(0,0) = \sum_{r=0} ^{2-1} \sum_{s=0} ^{2-1} \frac{2 \cdot \frac{ \sqrt[2]{2}} {2}\cdot \frac{ \sqrt[2]{2}} {2}}{\sqrt[2]{2 \cdot 2}} cos \left( \frac{(2r + 1)0\pi}{2 \cdot 2}\right) cos \left( \frac{(2s + 1)0\pi}{2\cdot 2}\right)f(r,s)$

$F(0,0) = \sum_{r=0} ^{1} \sum_{s=0} ^{1} \frac{1 }{\sqrt[2]{4}} cos(0) cos(0) f(r,s)$

$F(0,0) = \sum_{r=0} ^{1} \sum_{s=0} ^{1} \frac{1 }{2} f(r,s)$

Nu werken we verder de sommatie tekens uit:

$F(0,0) = \frac{1 }{2} \cdot 120 +\frac{1 }{2} \cdot 115 +\frac{1 }{2} \cdot 112 + \frac{1 }{2} \cdot 100 = 223,5$

We hebben nu de eerste waarde van de DCT matrix. Voor de overige 3 waardes veranderen we v en u. Het volgende element wordt berekend door u = 0 en v = 1.

$F(0,1) = \sum_{r=0} ^{2-1} \sum_{s=0} ^{2-1} \frac{2 \cdot \cdot \frac{ \sqrt[2]{2}} {2}}{\sqrt[2]{2 \cdot 2}} cos \left( \frac{(2r + 1)0\pi}{2 \cdot 2}\right) cos \left( \frac{(2s + 1)1\pi}{2\cdot 2}\right)f(r,s)$

$F(0,1) = \sum_{r=0} ^{1} \sum_{s=0} ^{1} \frac{\sqrt[2]{2}}{2} cos \left( \frac{(2s + 1)1\pi}{2\cdot 2}\right)f(r,s)$

$F(0,1) = \frac{\sqrt[2]{2}}{2} \left[ cos \left( \frac{(2 \cdot 0 + 1)\pi}{4}\right)\cdot 120 + cos \left( \frac{(2 \cdot 1 + 1)\pi}{4}\right)\cdot 115 + cos \left( \frac{(2 \cdot 0 + 1)\pi}{4}\right)\cdot 112 + cos \left( \frac{(2 \cdot 1 + 1)\pi}{4}\right)\cdot 100 \right]$

$F(0,1) = \frac{\sqrt[2]{2}}{2} \left[ cos \frac{\pi}{4}\cdot 120 + cos \frac{3 \pi}{4}\cdot 115 + cos \frac{\pi}{4}\cdot 112 + cos \frac{ 3 \pi}{4} \cdot 100 \right] = 8,5$

De 2 andere elementen worden op een analoge manier berekent de volledige uitkomst ziet er als volgt uit:

$A=\begin{bmatrix}223,5&8,5 \\ 11,5&-3,5\end{bmatrix}$

Ook hier zien we dat de hoogste waarde terug te vinden is in de linkerbovenhoek.

Zie ook

• JPEG