Gebruiker:Daaf Spijker/Kladblok/Nieuw

Lamé c.q addendum bij signum

Toepassing

Kromme van Lamé met $k={\tfrac {1}{2}}$

Een lid van de familie krommen van Lamé (de zogenoemde superellipsen) wordt in een cartesisch coördinatenstelsel gedefinieerd door:

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{k}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{k}=1\quad$ met $k={\tfrac {1}{2}}$ en $a,b>0$

Deze kromme is, evenals een ellips die met $k=2$ ook tot die familie behoort, symmetrsch in de x- en de y-as. Met $a=3,b=2$ is de lengte van de grote as gelijk aan 6; die van de kleine as is 4. Wordt deze vergelijking geschreven als:

$\left(\left|{\frac {x}{3}}\right|^{\frac {1}{4}}\right)^{\!2}+\left(\left|{\frac {y}{2}}\right|^{\frac {1}{4}}\right)^{\!2}=1$

dan ligt het, ten behoeve van een parametervergelijking met de parmeter $t\in [0,2\pi ]$, voor de hand te stellen, :

${\begin{cases}\left|{\frac {x}{3}}\right|^{\frac {1}{4}}=\cos(t)\\\left|{\frac {y}{2}}\right|^{\frac {1}{4}}=\sin(t)\end{cases}}\quad$ of $\quad {\begin{cases}\left|x\right|=3\cos ^{4}(t)\\\left|y\right|=2\sin ^{4}(t)\end{cases}}$

Met de signumfunctie zijn beide laatste relaties dan te schrijven als:

${\begin{cases}x=3\cos ^{4}(t)\cdot \operatorname {sgn}(\cos(t))\\y=2\sin ^{4}(t)\cdot \operatorname {sgn}(\sin(t))\end{cases}}$