Gebruiker:PieterJanR/Kwamtum-Hall-effect

Het kwantum-Hall-effect (QHE) is de kwantummechanische versie van het klassieke Hall-effect, waargenomen in tweedimensionale elektronsystemen wanneer deze onderworpen worden aan extreem lage temperaturen en sterk magnetische velden. Hierbij ondergaat de Hall-geleiding (σ_H) bepaalde (kwantum) Hall-overgangen en neemt deze gekwantiseerde waarden aan.

$\sigma _{H}={\frac {I_{\text{channel}}}{V_{\text{Hall}}}}=\nu \;{\frac {e^{2}}{h}},$

Hierbij is I_channel de kanaalstroom, V_Hall de Hall-spanning, e de elementaire lading en h de constante van Planck. De prefactor (of vulfactor) v kan ofwel een natuurlijk getal zijn (ν = 1, 2, 3) of gebroken (ν = 1/3, 2/5, 3/7, etc). Afhankelijk of v een natuurlijk of een gebroken getal is spreken we van heeltallig of fractioneel kwantum-Hall-effect.

Heeltallig kwantum-Hall-effect

Hall-weerstand ρ_xy in kΩ bij lage temperaturen uitgezet tegen de magnetische inductie B in Tesla.

Het kwantum-Hall-effect werd voor het eerst in 1980 gemeten door de Duitse fysicus Klaus von Klitzing toen hij promovendus was op het Grenoble High Magnetic Field Labortory. Hierbij maakte hij gebruik van een speciaal gefabriceerde halfgeleiderconfiguratie waarin elektronen alleen in twee dimensies kunnen bewegen. Afgekoeld tot een temperatuur onder de 4 Kelvin met vloeibaar helium en geplaatst in een krachtig magneetveld loodrecht op het oppervlak nam Klitzing waar dat de Hall-weerstand niet lineair varieerde met het magnetisch veld maar in discrete stappen.

Deze stappen (eigenlijk plateau's) waarin de Hall-geleiding veranderde bleken exact gekwantiseerd te zijn, ofwel de Hall-geleiding was een geheel aantal malen (ν = 1, 2, 3...) x e²/h. Voor deze ontdekking ontving Klitzing niet alleen Nobelprijs voor de Natuurkunde, het opende ook een geheel nieuw onderzoeksgebied van de kwantumfysica.

Het belangrijkste is dat de Hall-weerstand niet beïnvloed wordt door het aantal elektronen of eigenschappen van het materiaal maar uitgedrukt kan worden in slechts twee natuurconstanten: de constante van Planck en de lading van het elektron in het kwadraat. Dit maakte het mogelijk om een geheel nieuwe internationale standaard te definieren van de Ohm, de eenheid van elektrische weerstand: de Von Klitzing-constante R_K = h/e² = 25.812,8074448(86) Ω. Deze waarde kan met een nauwkeurigheid van 10^-12 (een biljoenste) gemeten worden.

Semi-klassieke verklaring

Het effect kan alleen begrepen worden als men de wetten van de kwantummechanica accepteert over hoe individuele elektronen zich gedragen in een sterk magnetisch veld. Bij lage temperaturen gaan elektronen koppels vormen die stevig met elkaar verbonden zijn. Onder invloed van een uitwendig magnetisch veld B bewegen de elektronenkoppels (eigenlijk quasideeltjes) in cirkelbanen in een vlak loodrecht op het veld. Net als bij de banen in het atoommodel van Bohr kunnen echter alleen bepaalde cirkelbanen voorkomen. Deze discrete banen komen overeen met bepaalde energiewaarden die evenredig zijn met de sterke van het magnetisch veld. Deze energiewaarden, Landau-levels genoemd, zijn gekwantiseerd, daar ze een discrete ladder vormen met 'energiehiaten' van gelijke niveau's.

Fractionele kwantum-Hall-effect

Naast het heeltallige kwantum-Hall-effect werd in 1982 bij Bell Labs een andere bijzondere vorm van Hall-geleiding ontdekt bij nog lagere temperaturen (0,02 K) en een magneetveld tot aan 30 Tesla. In een door Art Gossand vervaardigde halfgeleiderpreparaat van GaAs en Al_xGaAs ontdekten Horst Ludwig Störmer en Daniel Chee Tsui dat er niet alleen plateau's bij gehele waarden van de vulfactor ontstaan maar ook bij (eenvoudige) breuken, bijvoorbeeld 1/3, 2/3, 2/5, 3/5, 3/7, 4/7, etc.

Het vulgetal bij het fractionele kwantum-Hall-effect wordt bepaald met de volgende formule:

$\nu =n/(2n\pm 1)$

In 1988 ontvingen Störmer en Tsui, samen met Robert Laughlin, de Nobelprijs voor de ontdekking en verklaring van het fractionele kwantum-Hall-effect. De verklaring van het fractionele effect is lastiger dan die van het heeltallige kwantum-Hall-effect omdat tussen de elektronen de Colomb-wisselwerking zo sterk is dat ze niet meer met het fermi-vloeistofmodel beschreven kunnen worden. Hierdoor kan het fractionele kwantum-Hall-effect met de semi-klassieke theorie niet meer volledig worden beschreven.

Wiskundige verklaring

Het stapsgewijs toe- of afnemen van de Hall-weerstand werd door de Britse fysicus David Thouless, samen met Mahito Kohmoto, Peter Nightingale en Marcel den Nijs, verklaard met behulp van topologie. Dit is de tak van de wiskunde waarbij eigenschappen van lichamen worden beschreven die bewaard blijven als ze vervormd worden, zoals het oppervlak en het aantal gaten. Een donut heeft hierbij dezelfde topologie als een koffiekopje omdat ze beide één gat hebben. Een krakeling heeft daarentegen drie gaten. Het aantal gaten kan slechts een geheel getal zijn. Derhalve kan het toevoegen of weghalen van gaten in de topologie alleen in discrete stappen plaatsvinden, halve gatten bestaan niet.

Voor deze verklaring ontving Thouless in 2016 de Nobelprijs, samen met Michael Kosterlitz en Duncan Haldane Deze laatste was net als Thouless tot dezelfde conclusie gekomen over het kwantum-Hall-effect, maar dan op basis van een eendimensionale keten van moleculen.

Hofstadter-vlinder

Topologische kwantumgetallen staan in de wiskunde bekend als de eerste Chern-getallen en zijn nauwverwant aan de geometrische fase. Een markant model in deze context is het Azbel-Harper-Hofstadter-model welke kwantumfasemodel de Hofstadter-vlinder is, getoond in het figuur rechts. De vertical y-as geeft de sterkte van het magnetisch veld weer en de horizontale x-as is de chemisch potentiaal, die de elektronendichtheid bepaald. De kleuren representeren de heeltallige Hall-geleideing. De warme kleuren de positieve getallen en de koude kleuren de negatieve. Het fasediagram is fractaal en heeft een structuur op alle schalen.

Praktijk

Tweedimensionale systemen komen in de natuur niet voor. Zo worden in halfgeleiders gemaakt op het grensvlak van twee op elkaar aangebracht, uiterst zuivere halfgeleiderkristallen met eenzelfde structuur. Op zo'n grensvlak ontstaat een heterojunctie of hetero-overgang. Een voorbeeld hiervan is de gate-oxidelaag van een MOSFET, welke Von Klitzing had gebruikt om het kwantum-Hall-effect waar te nemen.

In een driedimensionaal systeem zal het kwantum-Hall-effect niet optreden omdat elektronen uit het materiaal naar boven kunnen bewegen (in de richting van het magnetisch veld). Ze vullen hierbij de energie'hiaten' op die wel in tweedimensionale systemen ontstaan.

Grafeen

Tot voor kort werd gedacht dat het kwantum-Hall-effect uitsluitend optrad bij zeer lage temperaturen en sterke magnetische velden. Echter met de ontdekking van grafeen – die een perfecte tweedimensionale atoomrooster heeft – bleek het kwantum-Hall-effect ook bij kamertemperatuur en een relatief laag magneetveld van 2 Tesla op te treden.

Hoewel reeds in 1988 op theoretische gronden afgeleid werd in 2014 experimenteel bewezen dat het kwantum-Hall-effect zelfs kan optreden als er geen magnetisch veld aanwezig is.

Bronnen, noten en/of referenties

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Quantum Hall effect op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.
• Lang, Herman de (2009), Canon van de Natuurkunde. Veen Magazines, Diemen, pp. 302-307. ISBN 978-9085712350.
• (en) Klitzing, Klaus von, 25 Years of Quantum Hall Effect (QHE) A Personal View on the Discovery, Physics and Application of this Quantum Effect 1-16. Poincaré Seminar (2004).
• Horst L. Störmer (1999). Nobel lecture: The fractional quantum Hall effect. Reviews of Modern Physics 71 (4): 875-889. DOI: 10.1103/RevModPhys.71.875.