Gram-Schmidtmethode

De Gram-Schmidtmethode is een algoritme waarmee men van een verzameling vectoren een orthogonaal stelsel maakt door van elke volgende vector de component te bepalen, die orthogonaal is met alle vorige. Die component verkrijgt men als het verschil met de projectie op de deelruimte, die wordt voortgebracht door de vorige vectoren. Door elke vector vervolgens nog eens te normeren verkrijgt men een orthonormale verzameling vectoren. De vraag of een verzameling vectoren al dan niet orthogonaal of orthonormaal is, hangt van het gebruikte inproduct.

De methode is vernoemd naar Jørgen Pedersen Gram en Erhard Schmidt, maar is van oudere datum en werd al gevonden door Laplace en Cauchy. In de theorie van Lie-groepen is de methode veralgemeend door Kenkichi Iwasawa.

Methode

In een vectorruimte met inproduct (genoteerd als $\langle\cdot,\cdot \rangle$) zijn de vectoren $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots , \mathbf{x}_n\!$ gegeven. De Gram-Schmidtmethode berekent de orthogonale vectoren $\mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2, \ldots , \mathbf{y}_n \!$ als volgt:

$\mathbf{y}_1 = \mathbf{x}_1\!$

voor $i = 2,\ldots,n\!$ is:

$\mathbf{y}_i = \mathbf{x}_i - \sum_{j=1}^{i-1}\frac{\langle\mathbf{x}_i,\mathbf{y}_j\rangle}{\langle\mathbf{y}_j,\mathbf{y}_j\rangle}\mathbf{y}_j$

De formule toont hoe de projectie van $\mathbf{x}_i\!$ op de vorige vectoren $\mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2, \ldots , \mathbf{y}_{i-1}\!$ bepaald is als de som van de afzonderlijke projecties:

$\frac{\langle\mathbf{x}_i,\mathbf{y}_j\rangle}{\langle\mathbf{y}_j,\mathbf{y}_j\rangle}\mathbf{y}_j$