Knopentheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Knopentheorie is een deelgebied van de topologie. De topologie bestudeert eigenschappen van lichamen die niet veranderen bij continue vervorming. Knopentheorie onderzoekt welke knopen in elkaar kunnen worden vervormd. Daarbij is een knoop een wiskundige idealisering van een stuk touw waarvan de eindjes zijn samengebonden.

Definitie[bewerken]

Een knoop is een equivalentieklasse van inbeddingen (continue injecties) van de topologische cirkel in de driedimensionale Euclidische ruimte. Twee inbeddingen zijn equivalent als er een continue vervorming van de Euclidische ruimte bestaat die de ene inbedding in de andere vervormt (en die tijdens de vervorming een inbedding blijft, dus de lus snijdt zichzelf niet):

f:S^1\to\mathbb{R}^3\hbox{ continu en injectief}
g:S^1\to\mathbb{R}^3\hbox{ continu en injectief}
f\approx q\Leftrightarrow
\exists F:\mathbb{R}^3\times[0,1]\to\mathbb{R}^3\hbox{ continu},\
\forall t\in[0,1]:F(.,t)\hbox{ bijectief}
F(.,0)\circ f=F(.,1)\circ g

Alle inbeddingen van de cirkel hebben beeldverzamelingen die per definitie topologisch equivalent zijn, want ze zijn allemaal homeomorf met de cirkel zelf. Het interessante topologische object is het knoopcomplement van de beeldverzameling. Krachtens een stelling van Gordon en Luecke zijn twee knopen die topologisch equivalente complementen hebben, gelijk of elkaars spiegelbeeld. De studie van knopen kan dus worden herleid tot de studie van driedimensionale variëteiten.

Voorbeeld[bewerken]

De cirkel in de ruimte

\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2=1\}

stelt de triviale knoop voor.

Knoopdiagram[bewerken]

In twee van de voorbeelden hierboven worden knopen grafisch voorgesteld door het beeld van de inbedding te projecteren op een vlak, waarbij het vlak zodanig wordt gekozen dat het beeld zichzelf slechts een eindig aantal keren snijdt, in duidelijk gescheiden kruispunten. Bij elk kruispunt wordt een conventioneel teken aangebracht om aan te geven welke van de twee delen van het touw "boven" het andere ligt, bijvoorbeeld door het "onderste" deel onderbroken te tekenen. Dit heet een knoopdiagram.

Als twee inbeddingen van de cirkel in de ruimte door hetzelfde diagram worden voorgesteld, behoren ze tot dezelfde equivalentieklasse (dezelfde knoop). Ook als de diagrammen in elkaar kunnen worden vervormd zonder het aantal of de oriëntatie van de snijpunten te wijzigen, stellen ze dezelfde knoop voor.

Het omgekeerde is echter niet waar. Eenzelfde knoop kan worden voorgesteld door knoopdiagrammen met verschillende aantallen snijpunten. Bijvoorbeeld: een tekening van een cirkel zonder snijpunten stelt de triviale knoop voor, maar een tekening van het cijfer acht doet dat ook.

Nuvola single chevron right.svg Zie Reidemeister-beweging voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Twee diagrammen stellen dezelfde knoop voor als ze in elkaar kunnen worden omgevormd door een eindig aantal keren de volgende transformaties toe te passen:

1. een eenvoudige lus verwijderen;
De eerste Reidemeister-beweging laat toe, een "kink in de kabel" te elimineren.
2. bij twee segmenten met nabijliggende onderlinge snijpunten met gelijke oriëntatie, de snijpunten verwijderen (de segmenten parallel hertekenen);
De tweede Reidemeister-beweging scheidt twee segmenten die zonder verbinding boven elkaar passeren.
3. bij drie segmenten met nabijliggende onderlinge snijpunten, waarbij één van de drie segmenten de andere twee met gelijke oriëntatie snijdt, het derde snijpunt aan de andere kant van het ene segment hertekenen.
In de derde Reidemeister-beweging passeert een segment over de kruising van twee lager gelegen segmenten.

Deze stelling wordt onafhankelijk toegeschreven aan Alexander en Reidemeister. De drie transformaties heten Reidemeister-bewegingen.

Voorbeelden[bewerken]

Het diagram van het cijfer acht kan worden herleid tot een eenvoudige cirkel door toepassing van de eerste Reidemeister-beweging. Het rechter diagram in de onderstaande figuur stelt eveneens de triviale knoop voor; dit kan worden aangetoond door tweemaal achter elkaar de eerste Reidemeister-beweging toe te passen.

Twee verschillende diagrammen die dezelfde knoop (de triviale knoop) voorstellen.

Invarianten[bewerken]

De Reidemeister-bewegingen geven in principe een algoritme om na te gaan of twee diagrammen dezelfde knoop voorstellen. Men kan echter met een gegeven diagram ook uniek bepaalde algebraïsche objecten associëren, die onveranderlijk blijven onder de Reidemeister-bewegingen (en die dus slechts van de knoop zelf afhangen, en niet van de gekozen inbedding of het gekozen knoopdiagram). Dergelijke objecten heten (knoop-)invarianten.

De knoopgroep is de fundamentaalgroep van het complement van het beeld van de inbedding. Dit is vanzelfsprekend een invariant. Knopen met isomorfe knoopgroepen hoeven niet identiek te zijn. Elke knoop heeft dezelfde knoopgroep als zijn spiegelbeeld.

Een aantal bekende invarianten neemt de vorm aan van een polynoom. Voorbeelden zijn het Alexander-veelterm en het Jones-veelterm. Polynomen hebben het voordeel dat hun onderlinge gelijkheid erg eenvoudig kan worden nagegaan.

Veralgemeningen[bewerken]

Topologen bestuderen in het algemeen de inbeddingen van een gegeven variëteit M in een hogerdimensionale variëteit N, op een continue vervorming van N na die de injectiviteit bewaart.

Een eerste voor de hand liggende veralgemening is de vervanging van \mathbb{R}^3 door zijn eenpunts-compactificatie, de drie-sfeer S3.

Men zegt dat M knoopt in N als er twee niet-equivalente inbeddingen van M in N bestaan.

Knopentheorie kan ook in andere categorieën van variëteiten worden bedreven. Men kan bijvoorbeeld eisen dat alle variëteiten en afbeeldingen glad (onbeperkt differentieerbaar) zijn. Het is bekend dat de gladde n-sfeer niet knoopt in de gladde n+1-sfeer als n verschillend is van 3 (het geval n=3 is een open probleem).

Verwante begrippen[bewerken]

Een vlecht is een equivalentieklasse van lijndiagrammen in het vlak die buiten een begrensd gebied bestaan uit n parallelle rechten, en waarbij binnen dat gebied een eindig aantal georiënteerde kruisingen optreedt.

Een schakel is een equivalentieklasse van inbeddingen in de Euclidische ruimte van een eindig aantal disjuncte kopieën van de cirkel. Een knoop is een bijzonder geval van een schakel. Het Alexander-polynoom is eigenlijk een link-invariant. Voorbeelden van niet-triviale schakels zijn het Borromeaans kruis, de Borromeaanse ringen en andere Brunniaanse verbindingen.

Voetnoten[bewerken]