Laguerre-polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), de oplossingen van de differentiaalvergelijking van Laguerre:

x y'' + (1-x)y' + n y = 0,\, \qquad n = 0,1,2,3\ldots

De oplossing is een polynoom van de graad n, het n-de de laguerre-polynoom, laat zich volgens de rodriguez-formule weergeven als

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x}).

Laguerre-polynomen vinden een toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij de orde van de polynoom wordt aangeduid met n! (n faculteit), in plaats van n.

Eerste Laguerre-polynomen[bewerken]

De eerste 5 laguerre-polynomen.


n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,

Recursie[bewerken]

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

\, (n+1)L_{n+1}(x) = (2n+1-x)L_n(x) - nL_{n-1}(x)\,

en

\, xL_n'(x) = nL_n(x) - nL_{n-1}(x)\,

Orthogonaliteit[bewerken]

Laguerre-polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van elkaar met betrekking tot het volgende inproduct:

\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.

Contourintegraal[bewerken]

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-xz/(1 - z)}}{(1 - z)\,z^{n+1}} \; dz

Gegeneraliseerde laguerre-polynomen[bewerken]

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

xy'' + (\alpha+1-x)y' + ny = 0

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

L_n^{(\alpha)}(x) = {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

L^{(0)}_n(x)=L_n(x).

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

\begin{align}
L_0^{(\alpha)}(x) &= 1 \\
L_1^{(\alpha)}(x) &= -x + \alpha +1 \\
L_2^{(\alpha)}(x) &= \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2} \\
L_3^{(\alpha)}(x) &= \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} -\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2} +\frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}
\end{align}

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]