Matrixdecompositie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskundige discipline van de lineaire algebra is een matrixdecompositie een factorisatie van een matrix in enige kanonieke vorm. Er bestaan veel verschillende matrixdecomposities, die elk voor een bepaalde klasse van problemen gebruikt worden.

Voorbeeld[bewerken]

In numerieke analyse worden verschillende decomposities voor de uitvoering van efficiënte matrixalgoritmes gebruikt.

Bij het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen Ax = b, kan de matrix A bijvoorbeeld worden ontleed door gebruik te maken van LU-decompositie. De LU-decompositie factoriseert een matrix in een benedendriehoeksmatrix L en een bovendriehoeksmatrix U. De systemen L(Ux)=b en Ux = L-1b vereisen minder optellingen en vermenigvuldigingen om het systeem op te lossen, hoewel men bij onnauwkeurig rekenen, zoals met floating point getallen significant meer cijfers nodig heeft.

Op gelijke wijze drukt de QR-decompositie A uit als QR met Q een unitaire matrix en R een bovendriehoeksmatrix. Het systeem Q(Rx) = b wordt opgelost door Rx = QTb = c, en het systeem Rx = c wordt opgelost door "terugsubstitutie". Het aantal benodigde optellingen en vermenigvuldigingen is ongeveer dubbel zoveel als bij gebruik van de LU-decompositie, maar bij onnauwkeurig rekenen vereist de QR-decompositie niet meer cijfers, omdat de QR-decompositie numeriek stabiel is.