Muizenprobleem
Het muizenprobleem is een wiskundig probleem waarin drie of meer muizen (of honden, kevers, ...) op de hoekpunten van een regelmatige veelhoek staan. Elke muis achtervolgt zijn naaste buur, in wijzerzin of tegenwijzerzin. Alle muizen starten tegelijk en lopen even snel. De vraag is: waar en wanneer komen de muizen samen en welke afstand hebben ze dan afgelegd? Welke baan hebben ze daarbij gevolgd?
Het probleem (drie honden die starten op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek) werd geformuleerd door Édouard Lucas in 1877.[1] Henri Brocard bewees in 1880[2] dat de banen die ze volgen logaritmische spiralen zijn, die samenkomen in het middelpunt van de driehoek.
Dit kan geïllustreerd worden voor het geval van vier muizen die elkaar achtervolgen:
A achtervolgt B, B achtervolgt C, C achtervolgt D en D achtervolgt A. Bij aanvang volgt iedere muis de zijde van het vierkant. Na verloop van een korte tijd Δ bevinden ze zich in posities A', B', C' en D', de hoekpunten van een nieuw vierkant, en moeten ze hun richting aanpassen naar deze nieuwe posities. Dit herhaalt zich steeds (in realiteit continu), zodat hun posities een soort vortex vormen waarvan de hoekpunten uiteindelijk samenkomen in het midden van het vierkant.
In het algemeen geldt voor n muizen in een regelmatige veelhoek met n zijden, waarvan de lengte van een zijde gelijk is aan 1, en waarin de muizen bewegen met een snelheid gelijk aan 1: de afstand tussen twee naburige muizen vermindert met de snelheid van 1 − cos(2π/n), zodat ze samenkomen na een verlopen tijd van 1/(1 − cos(2π/n)), wat tegelijk de afstand is die ze hebben afgelegd.
Het probleem won aan populariteit toen het verscheen in het boek Mathematical Snapshots van Hugo Steinhaus in 1950 (oorspronkelijk in het Pools verschenen in 1937). Diverse varianten zijn bestudeerd, zoals: wat als de muizen op de hoekpunten van een niet-regelmatige veelhoek vertrekken? Wat als de muizen verschillende snelheden hebben? Wat als ze niet hun naaste buur achtervolgen maar een andere?
In 1971 bewezen Klamkin en Newman dat drie even snelle muizen vanuit de hoekpunten van een willekeurige driehoek elkaar altijd gelijktijdig treffen (zolang de drie hoekpunten niet op een lijn liggen).[3] Behroozi en Gagnon toonden aan dat dit ook geldt voor vier muizen wanneer die vertrekken vanop de hoekpunten van een convexe vierhoek.[4]
Externe links[bewerken | brontekst bewerken]
Bronnen, noten en/of referenties
|