Overleg:Harde-bollenmodel

Ik ben zo vrij geweest om de titel te wijzigen, aangezien het hier eerder om een model dan om een theorie gaat Fred 6 jan 2009 15:09 (CET)

En ik betwijfel (een deel) van het betoog, omdat bij mijn weten een kubisch vlakgecentreerd rooster zich veel minder dicht stapelt dan een hexagonaal georiënteerde dichtste pakking. Hoewel al enige tijd voor die 74 % een zogenaamd "bewijs" werd gepresenteerd, is dit nog steeds omstreden, zodat het bij een vermoeden moet blijven. Dit zijn voorlopig m'n primaire kanttekeningen. D.A. Borgdorff \ 86.83.155.44 6 jan 2009 20:29 (CET)

Als de piramidale sinaasappel-ordening volgens een vlak-gecentreerd kubisch rooster wordt bedoeld, waarbij elke bol door zes andere omringd wordt, is die hexagonale 74 % haalbaar. Dan moet echter de link naar kubisch vlakgecentreerd stelsel weggenomen worden, want dat is wat anders en volgens die roosterstructuur is slechts ca. 53 % haalbaar. -- Als voornoemde hexagonale vlak-gecentreerde roosterstructuur met recht boven elklaar geplaatste lagen worden gestapeld, is slechts ruim ca. 60 % haalbaar. Verder refereerde ik aan de controverse tussen de geleerden Hales versus Hsiang, waarin de laatste (ten onrechte) poneerde het Kepler-vermoeden te hebben opgelost. Van verder belang lijkt me de hexagonale dichtste stapeling, waarbij idealiter een icosaëder aan hoekpunten van bollen kan worden bereikt - in een dodecaëder met twaalf bollen om een centrale bol heen gestapeld - ware het niet dat dit ruimtelijker net niet mogelijk blijkt. Dit is het secundaire deel. Voorts met vriendelijke groet: (dAb) via 86.83.155.44 6 jan 2009 21:55 (CET)

Bij kubisch vlakgecentreerd bevinden de centra van de bollen zich op de hoekpunten van de eenheidskubus en in het midden van de zes zijden. Als je dan de dichtheid uitrekent, krijg je ook 74%. Volgens mij is het artikel dus juist. Hoopje 6 jan 2009 22:13 (CET)

Dat bestrijd ik (ook) niet maar die link is twijfelachtig wegens (een blijkbaar) verschil tussen de kubisch vlakgecentreerde (link) en vlak-gecentreerde kubische roosterruimte. De bollen boven elkaar (kubisch) – of "in de holten ertussen gelegen" (wat schuiner) erboven gestapeld, is heel veel dichter.! - D.A. Borgdorff \ 86.83.155.44 6 jan 2009 22:22 (CET) – Zie een mogelijke link: en:Kepler conjecture, en en:Sphere packing.

Een betere link is volgens mij en:Cubic_(crystal_system). Er zijn blijkbaar drie "kubische" pakmethoden, waarvan "kubisch vlakgecentreerd" ("vlak-gecentreerd kubisch" is volgens mij hetzelfde) de meeste dichte is. De "boven elkaar" methode wordt daar "simple cubic" genoemd. Volgens mij zijn "kubisch vlakgecentreerd" en "hexagonaal" twee verschillende stapelmethoden, die toevallig dezelfde dichtheid hebben. De link in het artikel gaat ook naar de goede kubische stapelmethode. Ik moet dus zeggen dat ik niet geheel begrijp waar de twijfelachtigheid in zou moeten liggen. Hoopje 6 jan 2009 22:48 (CET)

• Wel geachte collega Hoopje, daar is nu juist discussie over, want "toevallig" is dit niet en moet de enige stapeling van die maximale 74 % ruimte-vulling leveren. De dichtste pakking is (nog steeds) in onderzoek, dit is geen theorie maar meer model, zoals Fred aangeeft. Als U bollen om elkaar perst (in de 3D-ruimte) komen ze slechts in één welbepaalde ordening terecht, of niet ?? → Het figuurtje bij die link past niet bij de dichtst mogelijke ruimteordening, dunkt me. Vandaar het hevige onderzoek (zelfs a-wiskundig via computers) in de laatste 20 à 30 jaar van deze eigenaardige structuren in gasatoom-verdeling en kristalvorming e.d. - Van harte hoop ik U: Hoopje de vertwijfeling zo iets verduidelijkt te hebben. dAb per 86.83.155.44 6 jan 2009 23:13 (CET)

Ik had inderdaad "toevallig" tussen aanhalingstekens moeten zetten, want in de wiskunde (en het betreft hier wiskunde met een toepassing in de natuurkunde) is er niets toevallig. (Dit mag u, als u wilt, het "Vermoeden van Hoopje" noemen ;-) Of het bewezen is dat deze 74% inderdaad de hoogst mogelijke dichtheid is, daar kunnen we over twisten, maar in ieder geval gaan de meeste, zo niet alle, wiskundigen ervan uit. En volgens mij bewees Gauss al dat 74% inderdaad de hoogste dichtheid voor regelmatige stapelingen is, en vooral regelmatige stapelingen zijn in het kader van dit artikel interessant, denk ik. Op de Engelse Wikipedia wordt trouwens beweerd, dat de kubische vlakgecentreerde ordening en de hexagonale ordening twee verschillende ordeningen zijn, met dezelfde dichtheid. Ik denk dus dat het artikel juist en niet verwarrend is. Of het duidelijk is geschreven, dat is iets anders.

Trouwens, wat betreft het verschil tussen een model en een theorie: ik denk dat Fred de harde bollen een model heeft genoemd, en niet een theorie, omdat in moderne natuurkundige theorieën een atoom al lang niet meer als een bol wordt opgevat, maar als een kern waaromheen electronen zweven. Als we dus, om een of andere reden, een atoom wel als een bol opvatten, dan gaat het om een model, en niet om een theorie. Ik denk dus ook, dat dat verder weinig met de meest efficiënte stapeling te maken heeft.

Hoopje 6 jan 2009 23:38 (CET)

Dank U voor de toelichting en kan nu grotendeels met U mee gaan. Zouden de bollen met straal R om een centrale bol met iets geringere < 2R diameter ruimtelijk gegroepeerd worden, dan is de structuur uitsluitend volgens de 13-bollige groep gevormd als een icosaëder, de enige volmaakt regelmatige, maar niet kubische vorm in 3D !. Van de beweringen inzake gelijke dichtheid der genoemde ordeningen was ik op de hoogte, maar de vorige cluster is (blijkbaar) alleen mogelijk als deze "13 bollen" iets kunnen inveren, wat natuurlijk in de werkelijke praktijk, zoals U ook aangeeft het geval is, dus zonder harde "bol". Daarom blijft het mijns inziens merkwaardig, dat de andere eerder genoemde stapelingen toch een kristallografisch natuurkundig feit blijken te zijn, nog afgezien van de wiskundige uitgangspunten. Nogmaals dank, en als anderen nog op- en aanmerkingen hebben, verneem ik dat ook wel gaarne. Groet in achting: D.A. Borgdorff \ 86.83.155.44 7 jan 2009 00:15 (CET)

• Bij nadere (Engelse) lezing blijkt de driedimensionale projectie van beide stapelingen toch niet (helemaal?) goed weergegeven te (kunnen) worden, en is de enigszins bedriegelijke piramidale figuur beslist geen "KVG"-projectie en ook niet als de hexagonale; dat staat in het figuurbestand ook duidelijk zo vermeld. Het blijft door de niet-kubische stapeling uiterst moeilijk zich deze (niet bestaande) "theoretische" eenheidscel goed voor te stellen. Dat de cel ook niet zó gebouwd kan worden, had ik al geconstateerd voor 1 + 12 volkomen identieke bollen, en deze staat dan ook niet bij de Bravaistralies van de kristalstructuur ingedeeld. Terwijl het genoemde 74 % percentage nu juist daarop van toepassing is. - Overigens is voor de voorstelling beschouwing van het onderling verband tussen de gemelde icosaëder, en de antigoon dodecaëder, in de hoekpunten door het centrum van de tegenovergestelde vijf- resp. drievlak-zijden, tamelijk bizar als de intermediaire icosidodecaëder, alsmede de plaatsingscoördinaten van de Wigner-Seitz-cel van belang, door de onderlinge verwisselbaarheid van 12 vijf- en 20 drie-hoekvlakken met "omgekeerd evenredige" hoekpunten. Ter adstructie van vorige tekst nog deze link. Nadere inzichten of gezichtspunten blijven verder welkom. D.A. Borgdorff \ 86.83.155.44 7 jan 2009 02:22 (CET)
• Blijkbaar wordt de door mij genoemde eenheidscel in bolstapeling onvoldoende beschreven, want ruimtelijk weergeven kan ik niet. In twee onderling ietwat (verticaal) geroteerde zijaanzichten: (1) onderin 3 ${\boldsymbol {\Delta }}$ bollen, met een tussenring van éénmaal 6 bollen die onderling ca. 20° (dus ± 10°) alternerend in projectie staan, en afsluitend boven weer 3 maar dan $\nabla$ bollen, de bovenlaag dus "in tegenfase", 12 bollen om de verborgen centrale bol. In plaats van een gelijkzijdige driehoeks-bollen-basis, kan men zich óók – als (één bol-basis) => (2) een loodlijn van/met 3 = drie bollen voorstellen (op de "punt"stapeling met die centrale bol) zodat nu "vier" lagen ontstaan, nl. de bovenste en onderste bol (= 2), en op ½ en 1½ "afstand" (tussen top en centrum, resp. bodem) in aanzicht twee ringen van vijf niet alternerende bollen, waarvan er slechts drie zichtbaar en twee er achterlangs gaan: nu alterneren de raakpunten als (1) tussen de 2 "om de middelbol" gegroepeerde 5-bol ringstructuren. Duidelijker kan ik (het althans) niet onder woorden brengen. Deze stapeling voldoet echter mijns inziens niet aan de steeds vermelde FCC-CCP of HCP-close pakking, is uniek in pakkingsgraad en, dacht ik, (nog) dichter - dus > 74 %. D.A. Borgdorff \ 86.83.155.44 9 jan 2009 18:31 (CET)

Ik geloof dat ik uw "eenheidscel" kan visualiseren, maar volgens mij is het geen eenheidscel, omdat je de ruimte de er niet volledig mee kunt vullen zonder gaten over te laten (ik heb dat tenminste even geprobeerd, en ben er niet in geslaagd.) Het is dus best mogelijk dat de dichtheid van de cel dichter is, maar daar kan men dan niet uit concluderen dat de pakkingsgraad in het totaal ook hoger is. Hoopje 9 jan 2009 18:55 (CET)

Dat moet wel, echter dan zijn deze bollen weliswaar identiek, maar alleen op de raakpunten, die dan overigens cirkelvormige raakvlakjes worden, veerkrachtig, zoals ook in de praktijk van elektronenconfiguratie in atoomroosters voor molecuulvormige gassen, geen harde maar wat elastischer configuraties uitgangspunt zijn. Hoewel ...? – Groet met dank dAb = 86.83.155.44 9 jan 2009 19:08 (CET)

Mag ik vragen, wat u met "dan" bedoelt? Ik ben zelf wiskundige (eigenlijk theoretisch informaticus, en dat is in deze tijden van hyperspecialisatie eigenlijk iets anders), en dat betekent in mijn geval twee dingen: ten eerste heeft u op het moment dat u "raakvlakjes" noemde, een ander probleem geponeerd, waarvan de oplossing niet noodzakelijkerwijs een tegenvoorbeeld voor het (wiskundige) Vermoeden van Kepler betekent; ten tweede weet ik niets over wat atomen en molekulen in werkelijkheid doen. Met vriendelijke groeten, Hoopje 9 jan 2009 22:00 (CET)

• Zeker collega H, dat wat ik hogerop reeds bedoelde met: a) "in een dodecaëder met twaalf bollen om een centrale bol heen gestapeld - ware het niet dat dit ruimtelijker net niet mogelijk blijkt " en verder ook op ultimo 6 jan: "Als U bollen om elkaar perst ...", vervolgens begin 7 jan: "Zouden de bollen met straal R om een centrale bol met iets geringere < 2R diameter ruimtelijk gegroepeerd worden, dan is de structuur uitsluitend volgens de 13-bollige groep gevormd als [-] icosaëder, de enige volmaakt regelmatige, maar niet kubische vorm in 3D !.", - en even later met: "Dat de cel ook niet zó gebouwd kan worden, had ik al geconstateerd voor 1 + 12 volkomen identieke bollen, ..." e.v. → In de ideale theoretische situatie zou die 12 om één centrale bol eenheidscel een icosaëder-structuur hebben met deze bollen dodecaëder gegroepeerd, want de ribben / stralen vanuit het centrum en onderling tussen de bollen zijn immers alle even lang.! - Er blijken echter minuscule ruimtelijke passingsproblemen in de harde = onveerkrachtige praktijk, waardoor bij uitbreiding alle omgevende bollen en zo verder elkaar niet meer (allemaal) in zijn geheel raken. Vandaar de hexagonale met éénlaag ertussen, en (volgens mij: idem hexagonale) hier vlakgecentreerde "kubische" stapeling via een zeshoekig grondpatroon en herhaling na een "dubbellaag". In 'mijn gedachte eenheidscel' kun je nauwelijks van lagen spreken en zeker niet kubiek, zoals in dit Harde-bollenmodel en dergelijke (14) "rooster"-artikelen steeds opduikt, analoog aan de elders gebruikte terminologie. Deze gasatomen zijn hier in zoverre van belang, dat de bolvormig veronderstelde structuren van bepaalde elementen meer worden bepaald door de buitenste (begrenzende) elektronenschillen, die met elkaar interfereren, zeg maar "quantumelektrodynamisch" verweven "door elkaar heen lopen", en geen raakpunten meer zijn, maar veeleer raakvlakken vormen. Uiteraard is dit ook een model van fysische interacties, en dat kunt U gerust als een ander probleem benoemen. Het gaat mij erom of die ruimtevulling nog niet anders is of kan, en daarbij een misschien nog hogere dichtheid haalbaar is, óók voor de praktijk. Verontschuldiging voor de wat ampele reactie, die even nog op zich liet wachten. - Evenzeer: D.A. Borgdorff \ 86.83.155.44 9 jan 2009 23:14 (CET)

Externe links aangepast

Hallo medebewerkers,

Ik heb zojuist 1 externe link(s) gewijzigd op Harde-bollenmodel. Neem even een moment om mijn bewerking te beoordelen. Als u nog vragen heeft of u de bot bepaalde links of pagina's wilt laten negeren, raadpleeg dan deze eenvoudige FaQ voor meer informatie. Ik heb de volgende wijzigingen aangebracht:

• Archief https://web.archive.org/web/20070717041130/http://www.mat.univie.ac.at/users/neum/public_html/contrib/fullkepler-1.pdf toegevoegd aan http://www.mat.univie.ac.at/users/neum/public_html/contrib/fullkepler-1.pdf

Zie de FAQ voor problemen met de bot of met het oplossen van URLs.

Groet.—InternetArchiveBot (Fouten melden) 28 sep 2017 00:30 (CEST)