Bravaistralie

Een Bravaistralie of Bravaisrooster is een begrip uit de kristallografie. De Bravaistralies zijn de veertien manieren waarop kristalroosters meetkundig kunnen worden beschreven. De veertien tralies zijn in 1848 bedacht door de Franse kristallograaf Auguste Bravais.

Alle vaste stoffen op aarde kunnen op drie manieren voorkomen: kristallijn, amorf of een tussenvorm hiervan. Kristallijne stoffen zijn opgebouwd uit netjes gerangschikte atomen, die samen een kristal vormen. Er zijn verschillende manieren waarop kristallijne stoffen gerangschikt kunnen worden in een kristal en daarmee in verschillende verschillende typen kristalroosters.

Classificatie van de Bravaistralies

Al deze verschillende kristalstelsels kunnen meetkundig worden beschreven met de veertien tralies van Bravais, die ingedeeld worden naar eenheidscel en naar kristalrooster.

Eenheidscellen

Zie Eenheidscel voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een eenheidscel laat zich beschrijven als een parallellepipedum met assen a, b, c en hoeken α, β en γ. Een complicatie treedt op bij de hexagonale cel, want de drietallige as genereert uit één parallellepipedum een hexagonaal prisma als eenheidscel met de puntsymmetrie van het kristal.

De eenheidscellen zijn als volgt ingedeeld naar plaats en aantal traliepunten in de cel:

• P : primitief, één traliepunt op de top van de cel, geen extra traliepunten.
• S : grondvlakgecentreerd, 2 traliepunten, het extra traliepunt op één van de drie grondvlakken. Men kan nader onderscheid maken naar vlak :
  • A : het extra traliepunt op het celvlak A gedefinieerd door de assen b en c.
  • B : het extra traliepunt op het celvlak B gedefinieerd door de assen a en c
  • C : het extratraliepunt op het celvlak C gedefinieerd door de assen a en b
• F : vlakgecentreerd, 4 traliepunten, met de extra traliepunten op ieder van de drie grondvlakken A, B en C.
• I : ruimtelijkcentreerd, 2 traliepunten, het extra traliepunt in het centrum van de cel
• R : twee mogelijkheden: romboëdrisch, dan is het een primitieve cel; of hexagonaal, dan bevat het drie traliepunten per cel. Ook hier wordt de complicatie veroorzaakt door de drietallige rotatie-as.

P, S, F, I en R worden als notatiesymbolen voor Bravaistralies gebruikt.

Kristalstelsels, kristalroosters en kristalfamilies

Zie kristalstructuur voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Kristallen zijn op grond van hun morfologische eigenschappen ingedeeld in kristalstelsels. Er zijn 7 kristalstelsels gedefinieerd op grond van de waarden van de assen a, b, c en hoeken α, β en γ.

De zeven kristalstelsels zijn als volgt ingedeeld:

• Triklien (a, b, c, α, β, γ willekeurig)
• Monoklien (a, b, c, β willekeurig, α = γ = 90°)
• Orthorhombisch (a, b, c willekeurig, α = β = γ = 90°)
• Tetragonaal (a = b, c willekeurig, α = β = γ = 90°)
• Trigonaal (a = b = c, α = β = γ)
• Hexagonaal (a = b, c willekeurig, α = β = 90° γ = 120°)
• Kubisch (a = b = c, α = β = γ = 90°)

vanaf hier wordt trigonaal gebruikt voor het stelsel, en romboëdrisch voor het rooster.

Er zijn ook zeven kristalroosters. Op het eerste gezicht lijkt het dat men de kristalroosters als meetkundige abstracties een-eenduidig kan identificeren met de kristalstelsels. Echter, ook hier zorgt in het geval van het trigonale kristalstelsel de drietallige as voor complicaties. Een trigonaal stelsel kan zowel gebaseerd zijn op een hexagonaal prisma als op een parallelepipedum; in het eerste geval heet het rooster hexagonaal en is het stelsel trigonaal(-hexagonaal); in het tweede geval heet het rooster romboëdrisch en is het stelsel trigonaal(-romboëdrisch). De zeven kristalroosters stemmen weer wel overeen met de Bravaistralies van de zeven primitieve cellen.

Kristalfamilies worden gekenmerkt door hun interne symmetrie. De zes kristalfamilies zijn (steeds komen dezelfde namen terug, niet bevorderlijk voor de duidelijkheid):

• kubisch (symbool: c)
• hexagonaal (symbool: h)
• tetragonaal (symbool: t)
• orthorombisch (symbool: o)
• monoklien (symbool: m)
• triklien (= asymmetrisch, symbool: a).

c, h, t, o, m en a worden in de notatie voor de Bravaistralies gebruikt als voorvoegsels bij P, C, I, F en R.

Er zijn maar zes kristalfamilies. Dit komt doordat de hexagonale en trigonale kristalstelsels samen de éne hexagonale kristalfamilie vormen en ook de hexagonale en romboëdrische roosters samen dezelfde éne hexagonale kristalfamilie vormen.

Onderling verband met Bravaistralies

Onderstaande tabel geeft het onderlinge verband weer tussen kristalfamilies, Bravaistralies, kristalroosters en kristalstelsels. In de tabel zijn tevens opgenomen de bijbehorende 32 kristallografische puntgroepen in de Internationale notatie of Hermann-Mauguinnotatie. Dit is nuttig, omdat de combinatie van Bravais-tralies en puntgroepen de 230 ruimtegroepen oplevert.

De complicatie hexagonaal - trigonaal - romboëdrisch laat zich met deze tabel goed verduidelijken. De tabel maakt onder meer zichtbaar dat het trigonale stelsel overeenkomt met één verzameling puntgroepen, maar met twee kristalroosters en twee Bravaistralies (hP en hR), en dat de éne hexagonale Bravaistralie hP overeenkomt met twee kistalstelsels.

Zie Puntgroep en Ruimtegroep voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.

Verband tussen kristalfamilies, Bravaistralies, kristalroosters, kristalstelsels en bijbehorende kristallografische puntgroepen

Kristalfamilie	Bravaistralie	Kristalrooster	Kristalstelsel	Bijbehorende puntgroepen (Internationale notatie)
Kubisch	cP, cF, cI	Kubisch	Kubisch	23, m3, 432, 43m, m3m
Hexagonaal	hP	Hexagonaal	Hexagonaal	6, 622, 6mm, 6/m, 6/mmm, 6, 62m
Hexagonaal	hP	Hexagonaal	Trigonaal	3, 32, 3m, 3, 3m
Hexagonaal	hR	Rhomboëdrisch	Trigonaal	3, 32, 3m, 3, 3m
Tetragonaal	tP, tI	Tetragonaal	Tetragonaal	4, 4, 422, 4mm, 42m, 4/m, 4/mmm
Orthorhombisch	oP, oS, oF, oI	Orthorhombisch	Orthorhombisch	222, mm2, mmm
Monoklien	mP, mS	Monoklien	Monoklien	2, m, 2/m
Triklien	aP	Triklien	Triklien	1, 1

De 14 Bravaistralies

In onderstaande tabel zijn de 14 Bravaistralies weergegeven naar type eenheidscel en naar kristalrooster. Onder iedere tralie staat het notatiesymbool van de Bravaistralie en de benaming van de kristalstelsels die bij het Bravaistralie behoren. Merk de complicatie in naamgeving op voor hexagonaal - trigonaal - romboëdrisch.

Bravaistralies naar eenheidscel en kristalrooster

	Kristalstelsel
Eenheidscel	Triklien kristalrooster	Monoklien kristalrooster	Orthorombisch kristalrooster	Hexagonaal kristalrooster	Romboëdrisch kristalrooster	Tetragonaal kristalrooster	Kubisch kristalrooster
P = primitief	aP triklien	mP primitief monoklien	oP primitief orthorhombisch	hP (1) hexagonaal (2) trigonaal(-hexagonaal)	hR trigonaal(-romboëdrisch)	tP primitief tetragonaal	cP primitief kubisch
I = ruimtelijk gecentreerd			oI orthorhombisch ruimtelijk gecentreerd			tI Tetragonaal ruimtelijk gecentreerd	cI kubisch ruimtelijk gecentreerd
S = grondvlakgecentreerd		mS monoklien grondvlakgecentreerd	oS orthorombisch grondvlakgecentreerd
F = vlakgecentreerd			oF orthorombisch vlakgecentreerd				cF kubisch vlakgecentreerd

Bij de bovenstaande afbeeldingen zij opgemerkt dat de drie hoeken van de romboëder niet alleen niet recht maar ook aan elkaar gelijk zijn. Verder zijn de twee monokliene gevallen getoond in een ongebruikelijke zetting omdat meestal β als de niet-rechte hoek genomen wordt en niet α.

Vectoren

Ten gevolge van het repetitieve karakter van de roosterstructuren die volgen uit deze tralies, is het gebruik van vectoren in kristallografische problemen zeer nuttig, daarom werden door Auguste Bravais ook kristallografische richtingen voorgesteld.

Zie roosterrichting voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

.