Bravaistralie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De veertien verschillende Bravaistralies waarmee kristalroosters meetkundig kunnen worden beschreven

Een Bravaistralie of Bravaisrooster is een begrip uit de kristallografie. De Bravaistralies zijn de veertien manieren waarop kristalroosters meetkundig kunnen worden beschreven. De veertien tralies zijn in 1848 bedacht door de Franse kristallograaf Auguste Bravais.

Alle vaste stoffen op aarde kunnen op drie manieren voorkomen: kristallijn, amorf of een tussenvorm hiervan. Kristallijne stoffen zijn opgebouwd uit netjes gerangschikte atomen, die samen een kristal vormen. Er zijn verschillende manieren waarop kristallijne stoffen gerangschikt kunnen worden in een kristal en daarmee in verschillende verschillende typen kristalroosters. Al deze verschillende kristalstelsels kunnen meetkundig worden beschreven met de veertien tralies van Bravais, die ingedeeld worden naar eenheidscel en naar kristalrooster.

Classificatie: Eenheidscellen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Eenheidscel voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een eenheidscel laat zich beschrijven als een parallellepipedum met assen a, b, c en hoeken α, β en γ. Nb.: Een complicatie treedt op bij de hexagonale cel, want de drietallige as genereert uit één parallellepipedum een hexagonaal prisma als eenheidscel met de puntsymmetrie van het kristal.

Indeling naar locatie en aantal van de traliepunten[bewerken]

De eenheidscellen zijn als volgt ingedeeld naar plaats en aantal traliepunten in de cel:

  • P : primitief, één traliepunt op de top van de cel, geen extra traliepunten.
  • S : grondvlakgecentreerd, 2 traliepunten, het extra traliepunt op één van de drie grondvlakken. Men kan nader onderscheid maken naar vlak :
    • A : het extra traliepunt op het celvlak A gedefinieerd door de assen b en c.
    • B : het extra traliepunt op het celvlak B gedefinieerd door de assen a en c
    • C : het extratraliepunt op het celvlak C gedefinieerd door de assen a en b
  • F : vlakgecentreerd, 4 traliepunten, met de extra traliepunten op ieder van de drie grondvlakken A, B en C.
  • I : ruimtelijkcentreerd, 2 traliepunten, het extra traliepunt in het centrum van de cel
  • R : twee mogelijkheden: romboëdrisch, dan is het een primitieve cel; of hexagonaal, dan bevat het drie traliepunten per cel. Ook hier wordt de complicatie veroorzaakt door de drietallige rotatie-as.
P, S, F, I en R worden als notatiesymbolen voor Bravaistralies gebruikt.

Voorbeeld[bewerken]

Cubic-body-centered.svg

Hiernaast is ter illustratie een kubisch ruimtelijk gecentreerde eenheidscel (ofwel type I) gegeven. Deze heeft de volgende kenmerken:

  • De cel is kubisch, ofwel de assen a, b en c zijn gelijk, en de hoeken zijn allen 90°
  • De cel is ruimtelijk gecentreerd, ofwel er bevindt zich een traliepunt midden in de cel
  • De eenheidscel heeft twee traliepunten;
    • Het ene traliepunt zit in het midden van de cel
    • Het andere traliepunt zit op het hoekpunt punt (0,0,0) van de cel (in een rooster zijn alle andere hoekpunten in feite het punt (0,0,0) van de naburige cellen). (Of: simpel gesteld wordt elk hoekpunt van de cel met 8 buren gedeeld, waardoor elk van de 8 hoekpunten voor 1/8 tot de cel behoort)

Overige afbeeldingen zijn verderop in dit artikel te vinden.

Classificatie: Kristalstelsels, kristalroosters en kristalfamilies[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie kristalstructuur voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Kristallen zijn op grond van hun morfologische eigenschappen ingedeeld in kristalstelsels. Er zijn 7 kristalstelsels gedefinieerd op grond van de waarden van de assen a, b, c en hoeken α, β en γ.

De zeven kristalstelsels zijn als volgt ingedeeld:

  • Triklien (a, b, c, α, β, γ willekeurig)
  • Monoklien (a, b, c, β willekeurig, α = γ = 90°)
  • Orthorombisch (a, b, c willekeurig, α = β = γ = 90°)
  • Tetragonaal (a = b, c willekeurig, α = β = γ = 90°)
  • Trigonaal (a = b = c, α = β = γ)
  • Hexagonaal (a = b, c willekeurig, α = β = 90° γ = 120°)
  • Kubisch (a = b = c, α = β = γ = 90°)
vanaf hier wordt trigonaal gebruikt voor het stelsel, en romboëdrisch voor het rooster.

Er zijn ook zeven kristalroosters. Op het eerste gezicht lijkt het dat men de kristalroosters als meetkundige abstracties een-eenduidig kan identificeren met de kristalstelsels. Echter, ook hier zorgt in het geval van het trigonale kristalstelsel de drietallige as voor complicaties. Een trigonaal stelsel kan zowel gebaseerd zijn op een hexagonaal prisma als op een parallelepipedum; in het eerste geval heet het rooster hexagonaal en is het stelsel trigonaal(-hexagonaal); in het tweede geval heet het rooster romboëdrisch en is het stelsel trigonaal(-romboëdrisch). De zeven kristalroosters stemmen weer wel overeen met de Bravaistralies van de zeven primitieve cellen.

Kristalfamilies worden gekenmerkt door hun interne symmetrie. De zes kristalfamilies zijn (steeds komen dezelfde namen terug, niet bevorderlijk voor de duidelijkheid):

  • kubisch (symbool: c)
  • hexagonaal (symbool: h)
  • tetragonaal (symbool: t)
  • orthorombisch (symbool: o)
  • monoklien (symbool: m)
  • triklien (= asymmetrisch, symbool: a).
c, h, t, o, m en a worden in de notatie voor de Bravaistralies gebruikt als voorvoegsels bij P, C, I, F en R.

Er zijn maar zes kristalfamilies. Dit komt doordat de hexagonale en trigonale kristalstelsels samen de éne hexagonale kristalfamilie vormen en ook de hexagonale en romboëdrische roosters samen dezelfde éne hexagonale kristalfamilie vormen.

Classificatie: Onderling verband met Bravaistralies[bewerken]

Onderstaande tabel geeft het onderlinge verband weer tussen kristalfamilies, Bravaistralies, kristalroosters en kristalstelsels. In de tabel zijn tevens opgenomen de bijbehorende 32 kristallografische puntgroepen in de Internationale notatie of Hermann-Mauguinnotatie. Dit is nuttig, omdat de combinatie van Bravais-tralies en puntgroepen de 230 ruimtegroepen oplevert.

De complicatie hexagonaal - trigonaal - romboëdrisch laat zich met deze tabel goed verduidelijken. De tabel maakt onder meer zichtbaar dat het trigonale stelsel overeenkomt met één verzameling puntgroepen, maar met twee kristalroosters en twee Bravaistralies (hP en hR), en dat de éne hexagonale Bravaistralie hP overeenkomt met twee kistalstelsels.

Nuvola single chevron right.svg Zie Puntgroep en Ruimtegroep voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.
Verband tussen kristalfamilies, Bravaistralies, kristalroosters, kristalstelsels en bijbehorende kristallografische puntgroepen
Kristalfamilie Bravaistralie Kristalrooster Kristalstelsel Bijbehorende puntgroepen

(Internationale notatie)

Kubisch cP, cF, cI Kubisch Kubisch 23, m3, 432, 43m, m3m
Hexagonaal hP Hexagonaal Hexagonaal 6, 622, 6mm, 6/m, 6/mmm, 6, 62m
Hexagonaal hP Hexagonaal Trigonaal 3, 32, 3m, 3, 3m
Hexagonaal hR Rhomboëdrisch Trigonaal 3, 32, 3m, 3, 3m
Tetragonaal tP, tI Tetragonaal Tetragonaal 4, 4, 422, 4mm, 42m, 4/m, 4/mmm
Orthorombisch oP, oS, oF, oI Orthorombisch Orthorombisch 222, mm2, mmm
Monoklien mP, mS Monoklien Monoklien 2, m, 2/m
Triklien aP Triklien Triklien 1, 1

De 14 Bravaistralies[bewerken]

In onderstaande tabel zijn de 14 Bravaistralies weergegeven naar type eenheidscel en naar kristalrooster. Onder iedere tralie staat het notatiesymbool van de Bravaistralie en de benaming van de kristalstelsels die bij het Bravaistralie behoren. Merk de complicatie in naamgeving op voor hexagonaal - trigonaal - romboëdrisch.

Bravaistralies naar eenheidscel en kristalrooster
Kristalstelsel
Eenheidscel Triklien kristalrooster Monoklien kristalrooster Orthorombisch kristalrooster Hexagonaal kristalrooster Romboëdrisch kristalrooster Tetragonaal kristalrooster Kubisch kristalrooster
P = primitief
aP
triklien
mP
primitief monoklien
oP
primitief orthorombisch
hP
(1) hexagonaal
(2) trigonaal(-hexagonaal)
hR
trigonaal(-romboëdrisch)
tP
primitief tetragonaal
cP
primitief kubisch
I = ruimtelijk gecentreerd
oI
orthorombisch ruimtelijk gecentreerd
tI
Tetragonaal ruimtelijk gecentreerd
cI
kubisch ruimtelijk gecentreerd
S = grondvlakgecentreerd
mS
monoklien grondvlakgecentreerd
oS
orthorombisch grondvlakgecentreerd
F = vlakgecentreerd
oF
orthorombisch vlakgecentreerd
cF
kubisch vlakgecentreerd

Bij de bovenstaande afbeeldingen zij opgemerkt dat de drie hoeken van de romboëder niet alleen niet recht maar ook aan elkaar gelijk zijn. Verder zijn de twee monokliene gevallen getoond in een ongebruikelijke zetting omdat meestal β als de niet-rechte hoek genomen wordt en niet α.

Vectoren[bewerken]

Ten gevolge van het repetitieve karakter van de roosterstructuren die volgen uit deze tralies, is het gebruik van vectoren in kristallografische problemen zeer nuttig, daarom werden door Auguste Bravais ook kristallografische richtingen voorgesteld.

Nuvola single chevron right.svg Zie roosterrichting voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

.

Bronnen, noten en/of referenties
  • Voor bovenstaand artikel of een eerdere versie daarvan is gebruikgemaakt van het dictaat "Röntgendiffractie 1, derde editie, R. van Rooijen, H.C.F. Rozendaal, W. Smid, B.J. Thijsse, 1988, TU Delft, Faculteit der Scheikundige Technologie en der Materiaalkunde, Sectie 'Fysische Chemie van de Vaste Stof'"
  • Dit Onderling verband met Bravaistralies of een eerdere versie ervan is (gedeeltelijk) vertaald vanaf de Franstalige Wikipedia, die onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.