Puntgroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een puntgroep is een symmetriegroep, ondergroep van een orthogonale groep, die bestaat uit een verzameling puntsymmetrieoperaties, dit zijn operaties die isometrische afbeeldingen opleveren met behoud van één vast punt, het symmetriepunt, dat tevens een dekpunt is. De beschrijving hieronder is gebaseerd op de drie ruimtelijke dimensies. Bij minder dimensies komen bepaalde symmetrieoperaties en puntgroepen vanzelf niet voor.

De naam puntgroep slaat op het symmetriepunt. Sommige moleculen hebben zo'n symmetriepunt, en dit maakt dat puntgroepen veel toepassing vinden in de scheikunde. Zo worden puntgroepen in de scheikunde gebruikt in de theorie van de chemische binding, en in de moleculaire spectroscopie. Onder andere is het chirale karakter van een molecuul of molecuulfragment gerelateerd aan de puntgroep. De kristallografie beschrijft kristalrooster-eenheden met puntgroepen.

De puntgroep van een molecuul bestaat uit de verzameling van alle puntsymmetrieoperaties die leiden tot een automorfe afbeelding van het molecuul met behoud van een vast symmetriepunt. Translaties van het molecuul blijven daarbij dus buiten beschouwing. De puntgroep wordt bepaald door de volledige verzameling puntsymmetrie-elementen van het molecuul.

In onderstaand overzicht zal geregeld naar voorbeelden van moleculaire symmetrie, voorbeelden uit de chemie, verwezen worden.

Begrippen[bewerken]

De puntsymmetrieoperaties (4, met de identiteitsoperatie meegeteld 5) zijn:

  1. Spiegeling in een vlak, symbool σ.
  2. Rotatie om een as (een lijn), symbool Cn.
  3. Inversie door een punt, symbool i. Het inversiepunt is altijd ook het symmetriepunt, cq. het moleculaire centrum. De combinatie rotatie en inversie levert een spiegeling op: C_2i= \sigma.
  4. Draaispiegeling samengesteld uit een rotatie om een as plus een spiegeling in een vlak loodrecht op die as, symbool Sn(= Cnσ = σCn).
  5. Identieke afbeelding in de ruimte, symbool E.

Twee keer vlakspiegeling of twee keer puntspiegeling komt weer uit bij de beginsituatie: \sigma^2= E;\ i^2= E. De index n bij C_n en S_n geeft het aantal rotaties aan dat nodig is om weer uit te komen bij de beginsituatie: C_n^n= E;\ S_n^n= E. Theoretisch kan n elk natuurlijk getal zijn, het aantal puntgroepen is dus oneindig, maar in de meeste toepassingen is n niet groter dan 8 à 12.

De puntsymmetrieoperaties zijn te onderscheiden van de puntsymmetrie-elementen, die gewoonlijk aangegeven worden met dezelfde symbolen, eventueel met een subscript als nadere precisering.

De puntsymmetrie-elementen zijn:

  1. Het spiegelvlak, symbool σ (horizontaal: σh, verticaal: σv, diagonaal: σd)
  2. De rotatieas, symbool Cn
  3. Het inversiepunt, symbool i
  4. De draaispiegelingsas, symbool Sn.

De puntsymmetrieelementen van een object of molecuul bepalen welke puntsymmetrieoperaties mogelijk zijn. Een puntgroep als verzameling van puntsymmetrieoperatoren wordt daarom bepaald aan de hand van de puntsymmetrie-elementen.

De puntgroepen kunnen globaal ingedeeld worden aan de hand van het aantal rotatie-assen:

  • De niet-axiale groepen (geen rotatie-as): C1 bij E; Ci bij i en Cs bij σ.
  • De groepen met één hoofdas: Cn bij eigenlijke rotatie (C voor cyclisch, deze staan model voor de cyclische groepen; S2n bij oneigenlijke rotatie en Cnv, Cnh bij rotatie en vlakspiegeling.
  • De groepen met éen hoofdas en n nevenassen: Dn zonder spiegelvlakken en Dnd, Dnh met spiegelvlakken erbij. Dit zijn dihedrale groepen
  • De groepen met drie of meer hoofdassen: de kubische groepen T, Th, Td, O en Oh en de icosahedrale groepen I en Ih. Ook hier verwijzen de subscripten naar spiegelvlakken.
  • De groepen voor lineaire symmetrie: C∞v D∞h, en voor bolsymmetrie: R3. Dit zijn oneindige groepen.
  • Daarnaast nog een aantal dubbelgroepen; deze worden gevormd door als extra operator nog tijdsinversie (spininversie) toe te voegen. Dubbelgroepen zijn vooral nuttig bij het beschrijven van overgangsmetaalcomplexen.
De hoofdas wordt altijd als z-as gedefinieerd; h (horizontaal) duidt dan op het xy vlak, v (verticaal) duidt op de xiz vlak(ken) en d (diagonaal) op de vlak(ken) diagonaal tussen xiz en xi+1z.

Het bepalen van de puntgroep[bewerken]

Gevolgd is de Schoenflies notatie, die in de chemie het meest gebruikt wordt en die bruikbaar is voor alle puntgroepen. In het geval van dubbelgroepen krijgen de Schoenfliessymbolen een * of een ' als superscript, dit laten we hieronder verder buiten beschouwing. In de kristallografie gebruikt men een andere puntgroepnotatie, de Internationale of Hermann-Mauguin notatie, die slechts van toepassing is op de set van kristallografische puntgroepen.

  • Lineair ? ja
    • inversie ja? → D∞h
    • inversie nee? → C∞v

  • Lineair ? nee →
    • 2 of meer Cn, n ≥ 3 ? ja
      • → inversie ? ja → C5 ? ja → Ih
      • → inversie ? ja → C5 ? nee → Oh
      • → inversie ? nee → Td

  • Lineair ? nee → 2 of meer Cn, n ≥ 3 ? nee → Cn ? ja.
    • Kies Cn met grootste n → nC2 loodrecht op Cn ? ja
      • σh ? ja → Dnh
      • σh ? nee → nσd ? ja → Dnd
      • σh ? nee → nσd ? nee → Dn

  • Lineair ? nee → 2 of meer Cn, n ≥ 3 ? nee → Cn ? ja
    • Kies Cn met grootste n: nC2 loodrecht Cn met grootste n ? nee, geen
      • σh ? ja → Cnh
      • σh ? nee → σv ? ja → Cnv
      • σh ? nee → σv ? nee → S2n ? ja → S2n
      • σh ? nee → σv ? nee → S2n ? nee → Cn
Nota bene: als men uitkomt bij Cn of Cnv, moet men controleren op de aanwezigheid van een S2n-as. De S2n-as wordt zichtbaar door het object of molecuul te projecteren langs de Cn-as. Is er zo'n S2n-as, dan geldt Cn → S2n en Cnv → Dnd.

  • Lineair ? nee → 2 of meer Cn, n ≥ 3 ? nee → Cn ? nee
    • σ ? ja → Cs
    • σ ? nee → i ja ? → Ci
    • σ ? nee → i nee ? → C1

De elementen van een puntgroep: symmetrieoperatoren[bewerken]

Niet de symmetrieelementen maar de symmetrieoperatoren zijn de groepselementen van een puntgroep.

Nemen we als voorbeeld D4h, een dihedrale groep, de puntgroep van een vierkant (dat per definitie in het horizontale xy-vlak ligt).

De puntgroep D4h wordt volgens bovenstaand schema bepaald door een set van zes symmetrie-elementen: één verticale C4-as (langs de z-as), vier horizontale C2-assen (dit zijn de twee C2,-assen langs x-as en y-as en de twee C2,,-assen diagonaal tussen x- en y-as) en het σh-vlak (xy-vlak). De twee C2,-assen kunnen door C4 in elkaar overgevoerd worden, zo ook de twee C2,,-assen. Het resultaat is een minimale set van 4 onafhankelijke symmetrie-elementen. De vier bijbehorende symmetrieoperatoren, C4 , C2, , C2,, en σh vormen de genererende verzameling van de D4h -groep, dat is: deze minimale set van vier symmetrie-operatoren genereren de volledige set van 16 symmetrie-operatoren van de D4h groep: E, C4, C42=C2 (z), C43, C2, (x) C2, (y), 2 C2,, (beide diagonaal tussen x en y), i, S4, S43, σh, 2 σv, 2 σd. Korter genoteerd:

D4h: E, 2C4, C2, 2C2,, 2C2,,, i, 2S4, σh, 2σv, 2σd.

De D4h-groep bezit dus 16 groepselementen, in de taal van de groepentheorie: de orde van de D4h-groep is 16. Dit is de groepsorde, te onderscheiden van de orde van de afzonderlijke elementen.

C4 is een element van de orde 4, het genereert een cyclische subgroep van de orde 4: C4, C42(=C2), C43 en C44(=E). Dit is de groep C4. Ook S4 is een element van de orde 4, het genereert de cyclische subgroep S4. Ook C43 en S43 zijn elementen van de orde 4. Het element E is van de orde 1 en genereert de triviale subgroep C1. De andere elementen van de D4h-groep zijn van de orde 2, zij genereren de cyclische subgroepen C2, Ci=S2 of Cs=Ch, die groepen van de orde 2 zijn.

Deze cyclische groepen zijn niet de enige subgroepen van D4h; andere subgroepen worden gevormd door twee of meer genererende elementen. D4h heeft bijvoorbeeld als niet-cyclische subgroepen van de orde 8: D4, C4h, C4v, D2d en D2h en als niet-cyclische subgroepen van de orde 4: D2, C2v, C2h.

Behalve een indeling van een puntgroep in subgroepen, kent men ook een indeling in conjugatieklassen.

1rightarrow blue.svg Zie Conjugatie (groepentheorie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De symmetrie-operaties binnen één puntgroep kunnen wiskundig één-eenduidig beschreven worden met vierkante orthogonale matrices, waarbij de bijbehorende matrixvermenigvuldiging gedefinieerd is als het na elkaar uitvoeren van twee symmetrieoperaties. Dit heeft tot prettig gevolg dat de matrix-representaties van alle symmetrieoperaties in een puntgroep een matrixgroep vormen, waarop de representatietheorie van toepassing is. De representatietheorie maakt veelvuldig gebruik van de indeling in nevenklassen en daarnaast ook van de correlatie tussen een groep en zijn subgroepen. De subgroepen hebben een lagere symmetrie dan de groep zelf: symmetrie-verlaging.

Iedere groep heeft als subgroepen zichzelf en C1, deze worden in onderstaande tabel onder subgroepen weggelaten.

De belangrijkste puntgroepen[bewerken]

De belangrijkste puntgroepen, hun groepselementen gegroepeerd in conjugatieklassen, en hun subgroepen
puntgroep

(Schoenflies notatie)

orde van

de groep

elementen van de groep = symmetrieoperatoren

(gegroepeerd naar conjugatieklassen)

subgroepen

(symmetrie-verlaging)

C1 1 E
Cs = S1 2 E, σ
Ci = S2 2 E, i
C2 2 E, C2
C3 3 E, C3, C32
C4 4 E, C4, C2, C42 C2
C5 5 E, C5, C52, C53, C54
C6 6 E, C6, C3, C2, C32, C65 C3, C2
C7 7 E, C7, C72, C73, C74, C75, C76
C8 8 E, C8, C4, C2, C43, C83, C85, C87 C4, C2
D2 4 E, C2(z), C2(y), C2(x) C2 (3 x)
D3 6 E, 2C3, 3C2 C3, C2
D4 8 E, 2C4, C2(=C42) 2C2,, 2C2,, C4, C2 (3 x)
D5 10 E, 2C5, 2C52, 5C2 C5, C2
D6 12 E, 2C6, 2C3, C2, 3C2,, 3C2,, C6, D3 (2 x), D2, C3, C2 (3 x)
C2v = D1h 4 E, C2, σv(xz), σv(x,z) C2, Cs (2 x)
C3v 6 E, 2C3, 3σv C3, Cs
C4v 8 E, 2C4, C2, 2σv, 2σd C4, C2v (2 x), C2, C2d (2 x)
C5v 10 E, 2C5, 2C52, 5σv C5, Cs
C6v 12 E, 2C6, 2C3, C2, 3σv, 3σd C6, C3v (2 x), C2v, C3, C2, Cs (2 x)
C2h = D1d 4 E, C2, i, σh C2, Ci, Cs
C3h = S3 6 E, C3, C32, σh, S3, S35 C3, Cs
C4h 8 E, C4, C2, C43, i, S43, σh, S4 C4, S4, C2h, C2, Ci, Cs
C5h 10 E, C5, C52, C53, C54, σh, S5, S57, S53, S59 C5, Cs
C6h 12 E, C6, C3, C2, C32, C65, i, S35, S65, σh, S6, S3 C6, C3h, S6, C2h, C3, C2, Ci, Cs
D2h 8 E, C2(z), C2(y) C2(x), i, σh (xy), σv(xz), σv(yz) D2, C2v (3 x), C2h (3 x), C2 (3 x), Cs (3 x)
D3h 12 E, 2C3, 3C2, σh, 2S3, 3σv C3h, D3, C3v, C2v, C3, C2, Cs (2 x)
D4h 16 E, 2C4, C2, 2C2,, 2C2,,, i, 2S4, σh, 2σv, 2σd D4, D2d (2 x), C4v, C4h, D2h (2 x), C4, S4,

D2 (2 x), C2v (4 x), C2h (3 x), C2 (3 x), Ci, Cs (3 x)

D5h 20 E, 2C5, 2C52, 5C2, σh, 2S5, 2S53, 5σv D5, C5v, C5h, C5, C2v, C2, Cs (2 x)
D6h 24 E, 2C6, 2C3, C2 3C2,, 3C2,,, i, 2S3, 2S6, σh, 3σv, 3σd D6, D3h (2 x), C6v, C6h, D3d (2 x), D2h, C6, C3h, D3 (2 x),

C3v (2 x), S6, D2, C2v (2 x), C2h (3 x), C3, C2 (3 x), Ci, Cs (3 x)

D8h 32 E, 2C8, 2C83, 2C4, C2, 4C2,, 4C2,,, i, 2S8, 2S83, 2S4, σh, 4σd, 4σv onder andere D8, C8, S8, C8h, C8v, D4h en hun subgroepen
D2d 8 E, 2S4, C2, 2C,2, 2σd S4, D2, C2v, C2 (2 x), Cs
D3d 12 E, 2C3, 3C2, i, 2S6, 3σd D3, C3v, S6, C3, C2h, C2, Ci, Cs
D4d 16 E, 2S8, 2C4, 2S83, C2, 4C2,, 4σd D4, C4v, S8, C4, C2v, C2 (2 x), Cs
D5d 20 E, 2C5, 2C52, 5C2, i, 2S103, 2S10, 5σd D5, C5v, C5, C2, Ci, Cs
D6d 24 E, 2S12, 2C6, 2S4, 2C3, 2S125, C2, 6C2,, 6σd D6, C6v, S12, C6, D2d, D3, C3v, D2, C2v, S4, C3, C2 (2 x), Cs
S4 4 E, S4, C2, S43 C2
S6 6 E, C3, C32, i, S65, S6 C3, Ci
S8 8 E, S8, C4, S83, C2, S85, C43, S87 C4, C2
T 12 E, 4C3, 4C32, 3C2 D2, C3, C2
Th 24 E, E, 4C3, 4C32, 3C2, i, 4S6, 4S65, 3σh T, D2h, S6, D2, C2v, C2h, C3, C2, Ci, Cs
Td 24 E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σd T, D2d, C3v, S4, D2, C2v, C3, C2, Cs
O 24 E, 6C4, 3C2(=C42), 8C3, 6C2 T, D4, D3, C4, D2 (2 x), C3, C2 (2 x)
Oh 48 E, 8C3, 6C2, 6C4, 3C2(=C42), i, 6S4, 8S6, 3σh, 6σd O, Td, Th, T, D4h, D4, D3d, D2d, C4h, C4v, D2h (2 x), D3, C3v, S6,

C4, S4, C2v (3 x), D2 (2 x), C2h (2 x), C3, C2 (2 x), S2, Ci, Cs

I 60 E, 12C5, 12C52, 20C3, 15C2 D5, C5, D3, C3, C2
Ih 120 E, 12C5, 12C52, 20C3, 15C2, i, 12S10, 12S63, 20S6, 15σ onder andere I, S10, D5h, C5v, D3h en hun subgroepen
C∞v, lineaire groep zonder i E, 2C (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞σv onder andere Cnv en hun subgroepen
D∞h, lineaire groep met i E, 2C (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞σv

i, 2S (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞C2

C∞v, en onder andere Dnh en hun subgroepen
R3, volle rotatiegroep. ∞C, ∞σ, i Onder andere O, D4, D3 en hun subgroepen

Puntgroepen in de kristallografie[bewerken]

Een kristal is opgebouwd uit eenheidscellen (roostercellen) die in een rooster gestapeld zijn volgens een bepaalde translatiesymmetrie. De puntsymmetrie van de eenheidscel moet verenigbaar (compatibel) zijn met de translatiesymmetrie van het rooster. De combinatie, in de driedimensionale Euclidische ruimte, van de translatiesymmetrie-elementen met de compatibele puntsymmetrie-elementen levert de kristallografische ruimtegroepen op, daarvan zijn er precies 230.

1rightarrow blue.svg Zie Ruimtegroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Terwijl er oneindig veel puntgroepen zijn, zijn maar weinig puntgroepen compatibel met de translatiesymmetrie van een kristal. Een 5-tallige, 7-tallige of hogere as bestaat niet in kristallen, omdat daarmee de ruimte niet gevuld kan worden. Het is aangetoond dat een rooster opgebouwd door een onbepaald aantal translaties slechts de volgende rotatie-assen kan bevatten: C1, C2, C3, C4 en C6. Daarnaast kan nog een inversiecentrum i als onafhankelijk puntsymmetrieelement aanwezig zijn; bedenk daarbij dat oneigenlijke rotates en spiegelvlakken worden gegenereerd door combinaties van eigenlijke rotaties en inversie.

Een eerste selectie aan de hand van deze symmetrieoperaties als genererende elementen geeft de volgende puntgroepen: Cn , Sn , Cnv , Cnh , Dn , Dnh , Dnd (voor n=1,2,3,4,6) en de kubische puntgroepen T, Td, Th, O en Oh. Zo genoteerd, zitten bij deze 40 groepen echter dubbeltellingen en uitsluitingen. Dubbel geteld zijn er 6: C1v ≡ C1h ; D1 ≡ C2 ; D1h ≡ C2v ; D1d ≡ C2h ; S1 ≡ C1h en S3 ≡ C3h; uitgesloten moeten worden D4d en D6d, omdat deze 2 groepen de uitgesloten S8 respectievelijk S12 bevatten (vet in bovenstaande tabel). Er blijven precies 32 puntgroepen over die compatibel zijn met translatiesymmetrie en de ruimtegroepen, dit zijn de 32 kristallografische puntgroepen. De systematiek ervan is in onderstaande tabel samengevat:

De 32 kristallografische puntgroepen (in geel)
kubisch T Td Th O Oh
n 1 2 3 4 6
Cn C1 C2 C3 C4 C6
Cnv C1v=C1h C2v C3v C4v C6v
Cnh C1h C2h C3h C4h C6h
Dn D1=C2 D2 D3 D4 D6
Dnh D1h=C2v D2h D3h D4h D6h
Dnd D1d=C2h D2d D3d D4d D6d
Sn S1=C1h S2 S3=C3h S4 S6

Kristallografische puntgroepen, Internationale notatie[bewerken]

De Schoenflies notatie is geschikt voor alle puntgroepen, maar niet geschikt voor ruimtegroepen. In de kristallografie is door de Duitse kristallograaf Carl Hermann en de Franse mineraloog Charles-Victor Mauguin een notatie bedacht, die tegelijk toegepast kan worden op de 3-dimensionale ruimtegroepen en op de 32 kristallografische puntgroepen. Deze notatie wordt de Internationale notatie of Hermann-Mauguinnotatie genoemd. Hoewel de Internationale notatie niet geldt voor alle puntgroepen, heeft zij in de kristallografie de voorkeur over de Schönflies notatie omdat het een gemakkelijke notatie voor translatiesymmetrie elementen biedt en omdat het bovendien de richtingen van de symmetrie-assen aangeeft.

In dit artikel wordt de toepassing van de Internationale notatie beperkt tot de puntgroepen. Net als de Schönflies notatie baseert de Internationale notatie zich op de symmetrie-elementen, echter de Internationale notatie gebruikt bij de classificatie voor oneigenljke rotaties het inversie-element i, waar de Schönflies notatie het reflectie-element σ gebruikt.

Met de gegeven systematiek voor het vaststellen van de 32 kristallografische is ook de systematiek van de Hermann–Mauguin notatie voor puntgroepen goed duidelijk te maken.

  • De symbolen voor eigenlijke rotaties worden verkort tot cijfers, dus C1, C2, C3, C4 en C6 worden weergegeven als 1, 2, 3, 4, 6.
  • De symbolen voor oneigenlijke rotaties, hier dus rotaties met inversie, hebben een streep boven de cijfers, dus C1i, C2i, C3i, C4i en C6i worden weergegeven als 1, 2, 3, 4, 6. Merk hier dus op: C1ii, dus 1 ≡ Ci; zo ook C2i ≡ σ en 2 ≡ Cs. Op dezelfde wijze vindt men 3 ≡ S6, 4 ≡ S4 en 6 ≡ S3.
  • Het symbool voor spiegeling is in Internationale notatie m. Let hier op: omdat Cs2 het symbool m krijgt, vervalt het symbool 2.
    • Als het spiegelvlak de n-voudige eigenlijke rotatieas bevat (in Schönflies is dit σv of σd), is het samengestelde symbool nm (met n=1,2,3,4 of 6).
    • Als het het spiegelvlak loodrecht op de n-voudige eigenlijke rotatieas staat (in Schönflies is dit σh), is het samengestelde symbool n/m (met n=1,2,3,4 of 6).

Als extra regel geldt dat men met het minimale aantal symbolen volstaat, dit betekent voor de niet-cyclische groepen dat men zich beperkt tot de genererende elementen. Dus bijvoorbeeld C3v met symmetrieelementen C3 en 3σv wordt in Internationale notatie niet 3mmm, maar 3m ; en D3 met C3 en 3C2 wordt niet 3222 maar 32. Als er echter onafhankelijke assen of vlakken zijn, kunnen de symbolen wel twee of drie keer voorkomen. Zo wordt de groep D2 met drie onafhankelijke C2 assen aangegeven met 222. Een bijzonder geval is D3h, men is geneigd die groep te schrijven als 2/m,2/m,2/m, maar dan is er overtolligheid, en dit is vereenvoudigd tot mmm. De groep T met meervoudige 2- en 3-tallige assen is 23 geworden en niet 32; want 32 is de groep D3. Ook ij de andere kubische groepen komt de 3-tallige as op de tweede plaats.

De 32 kristallografische puntgroepen in Schönflies notatie en in Internationale notatie.
Schoenflies

symbool

Internationaal

symbool

C1 1
Ci 1
C2 2
Cs m
C2h 2m
D2 222
C2v mm (mm2)
D2h mmm
C4 4
S4 4
C4h 4m
D4 422
C4v 4mm
D2d 42m (4m2)
D4h 4mmm
C3 3
S6 3
D3 32
C3v 3m
D3d 3m
C6 6
C3h 6
C6h 6m
D6 622
C6v 6mm
D3h 6m2 (62m)
D6h 6mmm
T 23
Th m3 (m3)
O 432
Td 43m
Oh m3m (m3m)
Bronnen, noten en/of referenties