Overleg:Hoofdstelling van de rekenkunde

11

Er staat: "In de wiskunde, en in het bijzonder in de getaltheorie, zegt de hoofdstelling van de rekenkunde dat elk positief geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen". Volgens mij kan dat niet met bijvoorbeeld het getal 11. Eerlijk gezegd denk ik dat het sowieso niet kan met alle priemgetallen zelf. Tom
Bovenstaande niet-ondertekende bijdrage is hier op 2 mrt 2008 om 19:59 uur geplaatst door 83.85.19.128.

Je kan elk getal zelf ook als een product zien, 11 = 11*1. Maar we beschouwen vermenigvuldigingen met 1 niet in dit geval, omdat de ontbinding dan niet meer uniek zou zijn. Aangezien priemgetallen geen andere delers hebben buiten 1 en zichzelf, is het nogal logisch dat je een priemgetal niet verder kan ontbinden in priemgetallen, buiten gewoon zichzelf... TD 2 mrt 2008 21:58 (CET)

Nauwkeuriger geformuleerd: een 'product' in bredere zin kan ook uit slechts 1 factor bestaan. Opmerking: de vraag die hier gesteld wordt door 83.85.19.128, is later ook hieronder op 18 jan 2012 om 22:49 uur geplaatst door 83.160.61.76. - Bob.v.R (overleg) 27 feb 2014 01:19 (CET)

1

Hoe schrijf je 1 als product van priemgetallen??Nijdam 31 okt 2005 01:21 (CET)

Er staat duidelijk vermeld dat we het hier hebben over getallen groter dan 1. 1 is dus niet te schrijven al een product van priemgetallen, tenzij men 1 zelf zou beschouwen als priemgetal, wat echter verkeerd is (hoewel dit in zekere zin voor discussie vatbaar is). Gajarigon 15 mrt 2007 23:21 (CET)

Beste Gajarigon, het getal 1 is geen priemgetal, discussie daarover is niet mogelijk. Groet, Bob.v.R 16 mrt 2007 02:59 (CET)

Toch wel. Er zijn bepaalde stellingen (zoals deze) waar men de randvoorwaarde van "voor getallen groter dan 1" moet toegeven, net omdat 1 geen priemgetal is. Dat laat uitschijnen dat in bepaalde gevallen 1 zich als een priemgetal gedraagt. Zie trouwens maar op de pagina van priemgetal, Lebesgue ging er nog van uit dat het een priemgetal was. Gajarigon 16 mrt 2007 10:00 (CET)

Bewijs

Ik had hier het bewijs op geplaatst, dit is echter weer verwijderd omdat het hier niet zou passen. Ik vind het echter heel handig wanneer ik een stelling of iets dergelijks opzoek dat er ook daadwerkelijk bijstaat hoe deze bewezen wordt, niet omdat ik het anders niet geloof maar omdat een bewijs dikwijls veel inzicht verstrekt over de stelling. Wanneer je ziet hoe iets bewezen wordt weet je veel beter wat er werkelijk staat. Daarom zou ik het bewijs er toch op plaatsen hoor.--Bart Bogaerts 8 mrt 2007 22:42 (CET)

Dan zou je dus graag bij alle stellingen bewijzen zien? Dat is niet de bedoeling van een (brede) encyclopedie. Rigoureuze bewijzen horen thuis in wiskundeboeken, niet in een encyclopedie die een breed publiek wil aanspreken. Soms kan wel een bewijsschets gegeven worden, maar in het algemeen worden volledige bewijzen vermeden - dat is voor zover ik weet altijd het beleid geweest. TD 9 mrt 2007 09:42 (CET)

Inderdaad, ik ben gerust bereid me bezig te houden met bij zo veel mogelijk stellingen een correct bewijs te plaatsen. Volgens mij kan het totaal geen kwaad om een brede encyclopedie ook diepgang te geven. --Bart Bogaerts 9 mrt 2007 17:23 (CET)

Ik denk dat het voor een encyclopedie zeker geen noodzakelijkheid is dat het bewijs van alle wiskundige stellingen wordt vermeld. In een enkel geval kan een bewijs toegevoegde waarde hebben vanwege de historische aspecten of het aan het licht brengen van onderliggende structuren. Of dit zo'n geval is, daar heb ik me nog geen mening over gevormd.

Er kunnen ook gevallen zijn waarin niet een compleet bewijs wordt gegeven, maar wel een schets van een bewijs, of de in het bewijs gebruikte technieken.

Mocht inderdaad worden gekozen om voor een zekere stelling het bewijs ook op te nemen, dan is de volgende afweging of dat dat moet plaatsvinden in het artikel zelf, dan wel in een apart artikel. Ik denk dat per geval moet worden bekeken waar de lezer het meest bij gebaat is. Bob.v.R 9 mrt 2007 17:33 (CET)

Ik ben absoluut geen voorstander van het voorstel van BartBogaerts, bewijzen bij alle stellingen gaan de artikels nodeloos ingewikkeld maken voor de niet-ingewijde lezer. De basis moet een encyclopedisch artikel blijven dat verstaanbare, maar correcte uitleg verschaft voor een breed publiek. Wat dat betreft blijf ik in grote lijnen staan achter de gedachte: bewijzen horen in wiskundeboeken in een wiskundige opleiding, tenzij het specifieke artikel een uitzondering verdient. TD 9 mrt 2007 23:00 (CET)

In dit specifieke geval heb ik er geen probleem mee als helemaal onderaan het artikel het bewijs gegeven wordt. Het is een heel belangrijke stelling en het bewijs kan sommige lezers iets meer inzicht verschaffen. Wel moet dan natuurlijk de opmaak van het bewijs op orde worden gebracht. Bob.v.R 13 mrt 2007 13:37 (CET)

Dat laatste op z'n minst, het bewijs zoals het was (duidelijkheid, foutjes, lay-out) vond ik niet goed genoeg om te laten staan. TD 13 mrt 2007 14:32 (CET)

Het is echter een degelijk en correct bewijs, dus mits een verbeterde opmaak kan het zeker dienen me dunkt--Bart Bogaerts 17 mrt 2007 22:07 (CET)

Heb het, in mijn ogen, iets beter gestructureerd, wat vinden jullie er zo van? --Bart Bogaerts 17 mrt 2007 22:23 (CET)

Zelf kan ik, verondersteld dat wanneer $a=b\times c$ door het priemgetal p is te delen, tenminste of a of b door p is te delen, een eenvoudiger bewijs geven. Het bewijs dat er nu staat, met een verwijzing naar een hulpstelling: Stelling van Bachet-Bézout vind ik te lang. Alleen de stelling geven zonder bewijs lijkt mij voldoende. ChristiaanPR (overleg) 26 feb 2014 12:54 (CET)

Het bewijs gaat in twee delen:

• Het bewijs dat een ontbinding bestaat gaat met volledige inductie. De inductieveronderstelling is gelijk aan de stelling zelf.
• Voor het bewijs van de eenduidigheid wordt op de Engelse wikipedia: en:Fundamental theorem of arithmetic#Elementary proof of uniqueness een bewijs gegeven dat kennelijk geen gebruik van het lemma van Euclides maakt.

ChristiaanPR (overleg) 13 okt 2015 16:37 (CEST)

Een inductieveronderstelling kan niet gelijk zijn aan de stelling zelf, dat is onzinnig. Bob.v.R (overleg) 14 okt 2015 20:29 (CEST)

Op een overlegpagina op alle korrels zout leggen is ook niet nodig. ChristiaanPR (overleg) 15 okt 2015 12:23 (CEST)

Dit lemma is uitermate geschikt voor eerstejaars studenten wiskunde

Nou heb ik toch Wiskunde B gehad op VWO-niveau, maar van dit lemma snap ik bijzonder weinig. "dat elk positief geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen". Eerste voorbeeld:

$6936=2^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!$

Huh? Dat zijn toch machten? Oh wacht, shorthand voor 2 * 2 * 2 * 3 * 17 * 17. Dat voldoet aan de definitie inderdaad. Maar waarom niet gewoon 28 gebruikt (2 * 2 * 7)? Dan is én duidelijk is dat priemgetallen meermaals voor kunnen komen, én je kunt het zelf nog even proberen of het anders kan, of misschien voor 29 wel niet, etc. (De link naar Algoritme van Euclides leidt naar een lemma dat juist weer heel begrijpelijk is)

Na de inleiding blijkt het bewijs afhankelijk te zijn van de additieve structuur van natuurlijke getallen. Echt geen idee wat die additieve structuur is (dat je ze altijd kunt optellen ofzo? dat geldt toch voor alle getallen?), en in plaats van uitleg wordt het allemaal nóg moeilijker. Als handig voorbeeld wordt "de natuurlijke getallen" even afgekort tot $\mathbb {N}$, en als je daar de additieve structuur niet van gebruikt dan gebruik je "dus" de vermenigvuldiging. Hierna wordt het echt niet meer te volgen.

Juist dit soort artikelen zijn interessant voor leken als ik, maar ik vrees dat de enigen die dit snappen het of zelf geschreven hadden kunnen hebben, of morgen een examen Rekenkunde hebben en het hier nog even extra simpel uitgelegd krijgen. Joepnl 29 jul 2010 01:31 (CEST)

En priemgetallen zelf dan?

In het artikel staat:

"In de wiskunde, en in het bijzonder in de getaltheorie, zegt de hoofdstelling van de rekenkunde dat ELK positief geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen, en dat dit op exact één manier mogelijk is"

Elk getal dat geen priemgetal, maar priemgetallen zelf zijn zeker niet te schrijven als producten van andere priemgetallen(Anders waren het per definitie geen priemgetallen).

Ik denk dat het goed is om de bovenstaande uitspraak te nuanceren, en veranderen naar elk positief geheel getal groter dan 1 dat zelf GEEN priemgetal is.

Bovenstaande niet-ondertekende bijdrage is hier op 18 jan 2012 om 22:49 uur geplaatst door 83.160.61.76.

@Joepnl: in de door Hilbert gegeven verzameling H bestaande uit 'drievouden plus 1' heb je bijvoorbeeld geen additieve structuur; de som van twee elementen uit H zit zelf niet in H

@83.160.61.76: bedoeld wordt een 'product' in de brede betekenis; een product kan hier ook slechts uit 1 factor bestaan, zoals bij de priemgetallen zelf ook inderdaad het geval is

Groeten, Bob.v.R (overleg) 27 feb 2014 01:01 (CET)

Deze hoofdstelling is geen vanzelfsprekendheid

De paragraaf over de hoofdstelling is geen vanzelfsprekenheid kan een stuk duidelijker, misschien is het het late tijdstip, maar ik begrijp er geen jota van. Is het misschien mogelijk om die paragraaf te herschrijven (uit te breiden?) zodat een wiskunde leek het ook kan snappen? (Dit is bedoeld als opbouwende kritiek, bij het overlezen realiseer ik mij dat dat anders kan overkomen, sorry is niet de bedoeling). --Hansv 29 jul 2004 23:21 (CEST)

Misschien doe ik dit wel verkeerd ofzo, maar mijn eerste keer wikipedia..

Ik ben het met Gebruiker:Hansv eens, daarom heb ik het anders geschreven. Wat er nu staat vind ik pretentieus.

Voorbeeld

Het volgende voorbeeld is van David Hilbert.

De verzameling

$H:=\{3j+1:j\in \mathbb {Z} \}$

heeft dezelfde multiplicatieve structuur als $\mathbb {Z}$. Een priemgetal in H is, net als in $\mathbb {N}$, een getal dat niet te schrijven is als een product van 2 getallen uit H, beide groter dan 1. Het blijkt dat het in H voorkomt, dat een getal op meer manieren is te ontbinden. Bijvoorbeeld 100 = 25·4 = 10·10. Merk op dat 4, 10 en 25 binnen H alle drie priemgetallen zijn.

Gebruiker:Bob.v.R heeft dit weggehaald.

ChristiaanPR (overleg) 26 feb 2014 12:54 (CET)

Ik heb de oorspronkelijke versie hersteld omdat in de versie van ChristiaanPR de lezer volledig een verkeerde richting uit wordt geleid. De verzameling van Hilbert is niet een voorbeeld van de hoofdstelling van de rekenkunde, maar is een voorbeeld van een verzameling waarin de hoofdstelling van de rekenkunde niet geldt. Bob.v.R (overleg) 26 feb 2014 13:06 (CET)

Het begint ermee dat een voorbeeld leesbaar moet zijn, ook Hansv vindt wat er nu staat onduidelijk. Hoe kan een rekenvoorbeeld nu iemand de verkeerde kant opsturen? Iemand kan het er alleen mee oneens zijn dat het voorbeeld niet binnen de context van het artikel valt. Dat geldt voor de manier dat het er nu staat op nog steeds. Nu staat het er zo dat de aan het voorbeeld toegevoegde tekst de lezer een richting probeert op te sturen, die niet bestaat. ChristiaanPR (overleg) 26 feb 2014 17:45 (CET)

Om het duidelijker te maken heb ik een bijzin toegevoegd. Of Hansv dit overleg volgt is mij niet bekend, maar ik vermoed van niet (zijn laatste bijdrage was in 2006). Bob.v.R (overleg) 26 feb 2014 19:46 (CET)

Het gaat om de twee zinnen:

• Het is opmerkelijk dat het bewijs van de eenduidigheid van de ontbinding in priemfactoren noodzakelijk gebruikmaakt van de additieve structuur van de natuurlijke getallen. en
• Een eenduidigheidsbewijs binnen de verzameling van de natuurlijke getallen dat alleen gebruikmaakt van de vermenigvuldiging, is daarom ook een geldig eenduidigheidsbewijs in de verzameling H.

De eerste zin klopt niet, die verondersteld dat er maar één bewijs mogelijk is.

De tweede zin is volkomen uit de lucht gegrepen.

ChristiaanPR (overleg) 26 feb 2014 20:07 (CET)

Het is een observatie afkomstig van Hilbert, zie het Duitstalige Primfaktorzerlegung, onder het kopje 'Verallgemeinerung'. Ik heb de formulering aangepast. Bob.v.R (overleg) 27 feb 2014 00:43 (CET)

Ik heb geprobeerd in het artikel een verwijzing naar het idee van Hilbert te vinden, maar die niet meteen gevonden. Op zich klinkt het logisch. ChristiaanPR (overleg) 14 okt 2015 14:06 (CEST)

Nul of meer

Ik heb niet het idee dat de laatste toevoeging van Patrick een erg zinvolle bijdrage is. Madyno (overleg) 3 sep 2018 15:53 (CEST)

Het was niet onjuist, maar zonder de toevoeging is het inderdaad al voldoende duidelijk imho. Ik heb de toevoeging teruggedraaid. Bob.v.R (overleg) 3 sep 2018 16:57 (CEST)

Lijkt me prima. Madyno (overleg) 3 sep 2018 17:21 (CEST)

Het laat mooi de samenhang zien met de definitie van een product van nul of meer factoren, en maakt de restricties "niet 1" en "zelf geen priemgetal" overbodig. - Patrick (overleg) 3 sep 2018 22:24 (CEST)

Een product van nul factoren is een 'kunstmatig' gedefinieerd iets, het is m.i. in dit artikel niet nodig om dat erbij te betrekken. Bob.v.R (overleg) 3 sep 2018 23:24 (CEST)

Er is geen samenhang. Madyno (overleg) 4 sep 2018 00:02 (CEST)

Voor wie bekend is met het concept van een product van nul of meer factoren is de samenhang overduidelijk. - Patrick (overleg) 4 sep 2018 09:08 (CEST)

Ik ben ook niet zo bekend met het concept van een product van nul of meer factoren, wel met het concept van een product van min een en minder factoren. Madyno (overleg) 4 sep 2018 09:58 (CEST)

Ik heb ook de bewerking van de anoniem waarop Patrick met zijn bewerking reageerde teruggedraaid. Het is niet nodig je tot niet-priemgetallen te beperken, daar wordt de stelling alleen maar zwakker van. Eventueel kan met een "d.w.z." nog worden verduidelijkt dat de priemfactorisatie van een priemgetal gelijk is aan dat priemgetal zelf.

Wat betreft vermenigvuldigingen van nul of meer factoren, het lijkt me geen raketwetenschap dat een vermenigvuldiging van nul factoren gelijk is aan de eenheid voor vermenigvuldigen (1), net zoals een optelling van nul termen gelijk is aan de eenheid voor optelling (0).

Hoopje (overleg) 5 sep 2018 10:00 (CEST)

Prima, maar "product" heeft verschillende betekenisen qua aantal factoren: in het eenvoudigste geval twee, maar het kan ook zijn "twee of meer", "een of meer" of "nul of meer". Voor alle duidelijkheid kan dat erbij gezet worden (of anders inderdaad die extra zin). - Patrick (overleg) 5 sep 2018 11:07 (CEST)

Een product van nul factoren is geen echt product, het betreft hier een definitiekwestie. Er is geen noodzaak aanwezig om in dit artikel te spreken over 'een product van nul factoren', dus dan lijkt mij beter dat ook niet te doen.

Over de recente toevoeging van de anoniem: ik heb geen bezwaar tegen deze aanscherping, omdat 'een product van 1 factor' ook bij sommige lezers een misverstand kan oproepen, omdat ook dat niet een echt product is. Ik zou dus geen bezwaar hebben als de terugdraaiing die Hoopje uitvoerde ongedaan gemaakt wordt. Groeten, Bob.v.R (overleg) 5 sep 2018 23:04 (CEST)

IK ben het met Bob eens, en heb de tekst aangepast. Madyno (overleg) 5 sep 2018 23:27 (CEST)

Een

Dat het getal 1 geen priemgetal is, is slechts een kwestie van afspraak. Wat maakt het uit dat de ontbinding dan niet uniek zou zijn? Het gaat er alleen maar om dat bij de huidige afspraak, dat 1 niet priem is, de stelling wat makkelijker geformuleerd kan worden. Madyno (overleg) 6 sep 2018 14:04 (CEST)

De vraag wordt gesteld: Wat maakt het uit dat de ontbinding dan niet uniek zou zijn? (waarbij met 'dan' wordt bedoeld de hypothetische situatie dat 1 wel een priemgetal zou zijn). Het antwoord is dat dan de hoofdstelling van de rekenkunde niet waar zou zijn. Bob.v.R (overleg) 8 sep 2018 12:44 (CEST)

Natuurlijk blijft de hoofdstelling waar, alleen een beetje anders geformuleerd.Madyno (overleg) 8 sep 2018 13:12 (CEST)

Obsceen taalgebruik op het paginavoorbeeld van deze pagina

Op het paginavoorbeeld voor deze pagina kwam ik obsceen taalgebruik tegen. In het volgende printscreen kan het gezien worden: https://imgur.com/ponUI53

Op de pagina Hoofdstelling van de rekenkunde kan het bijvoorbeeld gezien worden bij het hoveren over de link naar het artikel over wiskunde (de link staat op het derde woord in de eerste paragraaf).

DvaeOTbg (overleg) 27 mrt 2023 09:07 (CEST)

Bedankt voor de melding. Aangezien iedereen Wikipedia kan bewerken, komt het voor dat mensen die denken grappig te zijn zulke ongewenste teksten toevoegen. Het obscene taalgebruik is inmiddels weer van de pagina wiskunde verwijderd. Hoopje (overleg) 27 mrt 2023 09:55 (CEST)