Overleg:Welgefundeerde relatie

Relatie

@Patrick: Het begrip 'welgefundeerde relatie' houdt niet altijd een partiele orde in. Je had de definitie moeten aanpassen. Madyno (overleg) 5 jul 2015 12:28 (CEST)

Je bedoelt de definitie van maximaal en minimaal element? Wat stel je dan voor? - Patrick (overleg) 5 jul 2015 13:56 (CEST)

??? Natuurlijk van welgefundeerde relatie, dat is de titel van dit lemma! Madyno (overleg) 5 jul 2015 14:01 (CEST)

Wat stel je dan voor? Wel iets uit de ordetheorie? - Patrick (overleg) 5 jul 2015 14:05 (CEST)

Idee

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, noemt men een binaire relatie R op een klasse X welgefundeerd, als er geen oneindige keten in de relatie voorkomt. Dat wil zeggen: er is geen rij $x_{1},x_{2},\ldots \in X$ met $x_{i}\neq x_{j}(i\neq j)$ en $(x_{i+1},x_{i})\in R$. Dit is equivalent met te zeggen dat als S een niet-lege deelverzameling van X is, er een element m van S is dat geen voorganger heeft, dus waarvoor geldt dat voor elk element s van S, het paar (s, m) niet tot de relatie R behoort. Madyno (overleg) 5 jul 2015 19:58 (CEST)

In Inductie_(wiskunde)#Welgefundeerde_inductie gaat het om een welgefundeerde strikte partiële orde (ik heb "strikte" toegevoegd voor de duidelijkheid, het gaat daar niet om een partiële orde, maar om een strikte partiële orde). Hierboven klopt "Dit is equivalent met" niet voor een reflexieve relatie. - Patrick (overleg) 6 jul 2015 09:50 (CEST)

(na bwc) Ik ben het met Madyno eens dat er geen reden is ons hier op strikte partiele ordes te beperken. De definitie werkt met willekeurige relaties. Een welgefundeerde strikte partiele orde is dan een strikte partiele orde die een ook een welgefundeerde relatie is.

Echter, de hierboven genoemde voorwaarde $x_{i}\neq x_{j}(i\neq j)$ moet weggehaald worden, want die geeft problemen met cyclische relaties. Bovendien is deze definitie (als die voorwaarde weggehaald wordt) alleen equivalent met de gebruikelijke definitie als we het keuzeaxioma aannemen. Hoopje (overleg) 6 jul 2015 09:57 (CEST)

Ik heb de definitie beperkt tot irreflexieve relaties, als we het algemener willen moeten we de formule $\forall S\subseteq X\;\,(S\neq \varnothing \to \exists m\in S\;\;\forall s\in S\;\,(s,m)\notin R)$ even aanpassen. - Patrick (overleg) 6 jul 2015 10:22 (CEST)

Waarom die beperking???Madyno (overleg) 6 jul 2015 10:35 (CEST)

Anders is er niet zo'n m, omdat het niet geldt voor s = m. - Patrick (overleg) 6 jul 2015 11:21 (CEST)

Dat klopt, maar is volgens mij geen problem. Niet-irreflexieve relaties zijn niet welgefundeerd om die reden. (Bij ordes is het wel gebruikelijk dat een partiele orde als welgefundeerd wordt beschouwd wanneer zijn stricte deel welgefundeerd is, maar bij relaties volgens mij niet.) Hoopje (overleg) 6 jul 2015 11:41 (CEST)

Intro

Ik moet toegeven dat ik jouw telegramstijl niet helemaal begrijp. Zou je kunnen uitleggen wat je punt is? Hoopje (overleg) 5 feb 2018 20:54 (CET)

Sorry, het was voor mezelf als geheugensteuntje; inmiddels overbodig. Lees svp mijn aanpassingen door. Madyno (overleg) 5 feb 2018 21:57 (CET)

Je aanpassingen zien er prima uit! Hoopje (overleg) 7 feb 2018 00:00 (CET)