Rieselgetal

Een Rieselgetal is een oneven getal k met de eigenschap dat voor alle gehele getallen n het getal $k \times 2^n-1$ geen priemgetal is. De Zweed Hans Riesel bewees in 1956 dat er oneindig veel van dergelijke getallen bestaan. Het getal 509 203, het kleinst bekende, is ook door hem gevonden. Als je hierbij een positief veelvoud van 11 184 810 optelt, krijg je weer een Rieselgetal. Rieselgetallen vertonen een grote overeenkomst met Sierpińskigetallen.

Bewijs

Het bewijzen dat een getal een Rieselgetal is gaat door middel van een covering-set. Dit is een verzameling priemgetallen die bij een Rieselgetal k hoort. Voor iedere n geldt nu dat $k \times 2^n-1$ deelbaar is door een van deze getallen. Zo heeft $509\ 203 \times 2^n-1$ de covering-set {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Om te bewijzen dat {3, 5, 7, 13, 17, 241} een covering-set is voor 509.203 gaan we modulus het product van de set rekenen, dit is 5.592.405.

• $3 | 509\ 203 \times 2^0-1$
• $5 | 509\ 203 \times 2^1-1$
• $3 | 509\ 203 \times 2^2-1$
• $241 | 509\ 203 \times 2^3-1$
• ...
• $7 | 509\ 203 \times 2^{23}-1$

$509\ 203*2^{24} = 509\ 203*2^0$ mod $5\ 592\ 405$

Vanwege deze congruentie kan je n reduceren modulo 24, dus is bewezen dat 509 203 een Rieselgetal is.

• $509\ 203 \times 2^n-1$ heeft covering-set {3, 5, 7, 13, 17, 241}
• $762\ 701 \times 2^n-1$ heeft covering-set {3, 5, 7, 13, 17, 241}
• $777\ 149 \times 2^n-1$ heeft covering-set {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• $790\ 841 \times 2^n-1$ heeft covering-set {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• $992\ 077 \times 2^n-1$ heeft covering-set {3, 5, 7, 13, 17, 241}

Het Rieselprobleem

Het Rieselprobleem bestaat uit het bepalen van het kleinste Rieselgetal. Er wordt beweerd dat dit 509 203 is. Om dit te bewijzen dient bij alle oneven getallen k < 509 203 een getal n te worden gezocht zodat $k \times 2^n-1$ een priemgetal is. Omstreeks eind 2007 waren er nog 72 getallen te gaan, sinds september 2008 nog 63. Als bij deze 63 getallen een priemgetal wordt gevonden, is 509 203 echt het kleinste Rieselgetal.

Rieselzeef

Rieselzeef is een distributed computingproject waaraan iedereen kan deelnemen met zijn pc. Je computer downloadt een programma dat priemgetallen gaat zoeken van de vorm $k \times 2^n-1$ voor de overgebleven $k$'s. Het project is nu ondergebracht bij PrimeGrid.

Externe links

• Riesel Sieve Project
• Informatie en status van het probleem

Referenties