Bolschilstelling

In de klassieke mechanica leidt de bolschilstelling tot vereenvoudiging van berekening van de zwaartekracht tengevolge van een bolvormig lichaam. Deze stelling is van belang voor de sterrenkunde, de planetologie en de geofysica.

Isaac Newton gebruikte de bolschilstelling om aan te tonen dat:

1. Een bolsymmetrisch lichaam oefent zwaartekracht op de buitenwereld uit alsof al zijn massa geconcentreerd is in een puntmassa in het middelpunt van het lichaam.
2. Als het lichaam een bolsymmetrische schil is (dus een holle bal) oefent deze schil geen zwaartekracht uit in de binnenholte.
3. Binnen een massieve bol met constante dichtheid verloopt de zwaartekracht evenredig met de afstand tot het middelpunt. In het middelpunt is de zwaartekracht nul.

Deze resultaten waren nodig voor de analyse van Isaac Newton van de beweging van de planeten. Ze kunnen bewezen worden met infinitesimaalrekening, maar volgen ook uit de Wet van Gauss voor zwaartekracht.

Buiten de bolschil

Algemeen

Een massief, bolsymmetrisch lichaam kan samengesteld worden uit oneindig veel concentrische, infinitesimaal dunne bolschillen. Als een daarvan kan worden behandeld als een puntmassa, dab kunnen ze dat allemaal samen (de hele bol dus) ook. We bekijken eerst een enkele bolschil.

d$\theta$ in het diagram verwijst naar de kleine hoek, niet naar de booglengte. De booglengte is Rd$\theta$.

Uit Newtons wet van de zwaartekracht volgt de grootte van de kracht door de gearceerde band is

$dF={\frac {Gm\;dM}{s^{2}}}$

Door symmetrie heffen sommige componenten van de kracht elkaar op, zodat de kracht overblijft in de richting van $m$

$dF_{r}={\frac {Gm\;dM}{s^{2}}}\cos \phi$

De totale kracht op $m$ wordt eenvoudig de som van de krachten die door alle banden worden uitgeoefend. Door de breedte van de banden te verkleinen en het aantal banden te vergroten wordt de som een integraal:

$F_{r}=\int (dF_{r})$

$G$ en $m$ zijn constanten en mogen onder de integraal worden uit gehaald:

$F_{r}=Gm\int {\frac {dM\cos \phi }{s^{2}}}$

Deze uitdrukking laat zich niet meteen integreren, omdat voor elke dunne band van de bolschil alle drie de variabelen $dM$, $\cos \phi$, and $s$ variëren (zie de animatie). Om de integraal uit te rekenen moeten we overgaan op een andere variabele, de cosinusregel gebruiken en de dichtheid berekenen.

Oppervlak en dichtheid

Als de bolschil massa $M$ en straal $R$ heeft, is de oppervlakte dichtheid van de hele schil

$\sigma ={\frac {M}{4\pi R^{2}}}$

Het infinitesimaal kleine oppervlak van de band dA, is zijn omtrek ($2\pi R\sin \theta$) maal zijn breedte ($Rd\theta$):

$dA=2\pi R^{2}\sin \theta \;d\theta$

De maasa van de band is de dichtheid van de bolschil maal het oppervlak van de band:

$dM=\sigma \;dA={\textstyle {\frac {1}{2}}}M\sin \theta \;d\theta$

De kracht wordt

$dF_{r}={\frac {GMm}{2s^{2}}}\cos \phi \sin \theta \;d\theta$

De massa dM is vervangen door een andere grootheid die meeloopt met de banden, $\theta$. Deze term kan net als $\cos \phi$ herschrijven worden met de cosinusregel.

Toepassing van de cosinusregel

Volgens de cosinusregel

$\cos \phi ={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}$

$\cos \theta ={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}$

Impliciet differentiëren van deze uitdrukking (s is een functie van $\theta$) geeft

$\sin \theta \;d\theta ={\frac {s}{rR}}ds$

Resultaat

Invullen van de uitkomsten hierboven is de oorspronkelijke uitdrukkingen voor de kracht geeft

$dF_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}{\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{s^{2}}}ds$

Om de totale kracht te krijgen moeten we integreren over $s$ waarbij de donkere band uit de animatie over de bol loopt, steeds verder weg van de massa $m$ (dus $\theta$ loopt van $0$ tot $\pi$).

De integratie grenzen komen doordat de meeste rechte band op een afstand (r - R) van de puntmassa m ligt, en de meest linkse band op een afstand (r + R).

Als $r>R$, dan

$F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}{\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{s^{2}}}ds$

De integraal geeft 4R, dus de kracht wordt

$F_{r}={\frac {GMm}{r^{2}}}$

Een bolschil kan voor de berekening van zijn zwaartekracht op de buitenwereld buiten de schil vervangen worden door een puntmassa in het middelpunt van de bolschil.

Binnen een bolschil

Een interessant resultaat is het geval met $r<R$, zodat de puntmassa binnen de bolschil ligt. Uit symmetrie-overwegingen volgt dat als de puntmassa in het middelpunt van de bolschil staat de kracht num moet zijn, maar is dit waar voor alle plaatsen binnen de schil?

De onderste integratieconstante wordt hier omgekeerd zodat

$F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}{\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{s^{2}}}ds=0$

Daarom oefent de schil geen netto kracht uit op deeltjes aan de binnenkant. Intuïtief is dit zo te verklaren uit de omgekeerde kwadratenwet: de stukjes schil vlakbij de massa m oefenen een grote kracht uit, terwijl grote lappen schil verder weg veel minder kracht bijdragen.

In het algemeen geldt

$F_{r}={\begin{cases}{\frac {GMm}{r^{2}}},&r>R\\0,&r<R\end{cases}}$

Dikke bolschillen

Het effect van een bolsymmetrische bolschil met eindige dikte (binnenste straal $R_{a}$ en buitenste straal $R_{b}$) kan ook worden berekend. De zwaartekracht binnen en buiten de bolschil wordt op de zelfde manier gevonden als bij een dunne schil. Maar wat is de zwaartekracht in de schil zelf, dus voor $R_{a}<r<R_{b}$ ?

Net als boven kan de dikke bolschil in gedachten worden samengesteld uit vele concentrische dun bolschillen. De bijdrage aan de zwaartekracht van een zo'n schil is

$dF_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}dM_{R}$

Met de dichtheid en de inhoud van de bolschil wordt de massa van de dunne schil met straal $R$ en dikte $dR$ gevonden als

$dM_{R}=4\pi R^{2}\rho (R)\;dR$

zodat

$F_{r}={\frac {4\pi Gm}{r^{2}}}\left[\int _{R_{a}}^{r}R^{2}\rho (R)\;dR+\int _{r}^{R_{b}}R^{2}\rho (R)\;dR\right]$

Omdat alle schillen met $R>r$ geen effect hebben, valt de tweede term weg:

$F_{r}={\frac {4\pi Gm}{r^{2}}}\int _{R_{a}}^{r}R^{2}\rho (R)\;dR$

Als de dichtheid overal in het lichaam gelijk is aan $\rho (R)=\rho$ en

$F_{r}={\frac {4\pi \rho Gm}{r^{2}}}\int _{R_{a}}^{r}R^{2}\;dR$

$F_{r}={\frac {4\pi \rho Gm}{3r^{2}}}\left(r^{3}-R_{a}^{3}\right)$

In het algemeen geldt voor constante $\rho$:

$F_{r}={\begin{cases}{\frac {4\pi \rho Gm}{3r^{2}}}\left(R_{b}^{3}-R_{a}^{3}\right),&r>R_{b}\\{\frac {4\pi \rho Gm}{3r^{2}}}\left(r^{3}-R_{a}^{3}\right),&R_{a}<r\leq R_{b}\\0,&r\leq R_{a}\end{cases}}$

De factoren ${\frac {4\pi \rho }{3}}(R_{b}^{3}-R_{a}^{3})$ en ${\frac {4\pi \rho }{3}}(r^{3}-R_{a}^{3})$ zijn gelijk aan de massa $M$ van elke dikke bolschil. Dus de eerste twee gevallen zijn terug te brengen tot de Gravitatiewet van Newton.

Massieve bollen

Een massieve bol kan gezien worden als een speciaal geval van een dikke bolschil met $R_{a}=0$:

Dus geldt voor $r<R_{b}$:

$F_{r}={\frac {4\pi Gm}{r^{2}}}\int _{0}^{r}R^{2}\rho (R)\;dR$

Voor constante $\rho$ geldt, als we $R_{b}$ nu $R$ noemen

$F_{r}={\begin{cases}{\frac {4\pi \rho GmR^{3}}{3r^{2}}},&r>R\\{\frac {4\pi \rho Gmr}{3}},&0<r\leq R\\0,&r=0\end{cases}}$

Vele hemellichamen zijn in goede benadering bolsymmetrische massieve lichamen. Maar meestal is de dichtheid $\rho (R)$ in het algemeen niet overal gelijk, maar omgekeerde evenredig met $R$. Dit leidt tot onverwachte resultaten. We zouden denken dat de zwaartekracht afneemt als we op aarde afdalen in een diepe mijnschacht. Maar omdat de dichtheid toeneemt met de diepte, neemt de zwaartekracht eerst enigszins toe. Dit effect zou sterker moeten zijn op een gasvormige reuzenplaneet als Jupiter.

Zie ook

• Gravitatiewet van Newton
• Wet van Gauss
• Kwadratenwet